Questão 1.(2.7pt) marque (V) se a afirmação é verdadeira; (F) se é falsa; e (O) para omitir-se. Cada alternativa correta conta 0.45 pt ; cada errada desconta 0.15 pt .
(V) (F) (O) (a) u=1+cos (3 theta) implica integral sen(3 theta)1+cos (3 theta) d theta=integral -d uu=-ln |u|+C=-ln |1+cos (3 theta)|+C
(V) (F) (O) (b) u=4+5 x^2 implica integral xraiz4+5 x^2 d x=integral d u / 10raizu=110 integral u^-1 / 2 d u=110 2 u^1 / 2+C= =raiz4+5 x^25+C
(V) (F) (O) © u=1+4 x implica integral x raiz1+4 x d x=integral u-14 raizu d u=14 integral u^3 / 2 d u-14 integral u^1 / 2 d u= =u^5 / 210-u^3 / 26+C=(1+4 x)^5 / 26-(1+4 x)^3 / 26+C
(V) (F) (O) (d) u=sen x implica u=ln x integral x^2 ln x d x=x^3 ln x3-integral x^33 cdot 1x d x=x^3 ln x3-x^39+C
(V)
(F) (O) (e) u=x implica integral x sec ^2 x d x=x tan (x)-integral tan x d x=x tan x+ln |cos x|+C
(V) (F) (O) (f) implica

Passo 1

O enunciado pede para marcar cada afirmação envolvendo técnicas de substituição em integrais como verdadeira (V), falsa (F) ou omitir (O). O conteúdo utilizado é substituição trigonométrica e mudança de variável em integrais, além de integração por partes.

Passo 2

Para (a) fazemos a substituição u=1+cos(3theta), de onde du=-3sin(3theta),dtheta. Logo
integral sin(3theta)1+cos(3theta),dtheta =integral -du/3u =-13ln|u|+C =-13ln|1+cos(3theta)|+C
A solução dada ignora o fator 1/3, portanto está incorreta.

Passo 3

Para (b) definimos u=4+5x^2, então du=10x,dx e x,dx=du/10. Assim
integral xraiz4+5x^2,dx =integral du/10raizu =110integral u^-1/2,du =110cdot2u^1/2+C =raiz4+5x^25+C
Está correto.

Passo 4

Para © usamos u=1+4x, então du=4,dx, x=(u-1)/4 e dx=du/4. A integral vira
integral xraiz1+4x,dx =integral u-14u^1/2du4 =116integral (u^3/2-u^1/2),du =u^5/240-u^3/224+C =(1+4x)^5/240-(1+4x)^3/224+C
A resposta apresentada está errada (coeficientes trocados).

Passo 5

Em (d) com u=sin x obtemos du=cos x,dx e cos^2x=1-u^2. Então
integral sin^4 xcos^5 x,dx =integral u^4(1-u^2)^2,du =integral (u^4-2u^6+u^8),du neqintegral(u^4-u^8),du
A solução do enunciado ignora o termo -2u^6) e está incorreta.

Passo 6

Para (e) aplicamos integração por partes com u=ln x e dv=x^2,dx. Então du=dx/x e v=x^3/3, resultando em
integral x^2ln x,dx =x^33ln x-integral x^33cdot1x,dx =x^3ln x3-13integral x^2,dx =x^3ln x3-x^39+C
Correto.

Passo 7

Para (f) também usamos partes: seja u=x, dv=sec^2 x,dx, então du=dx, v=tan x. Logo
integral xsec^2 x,dx =xtan x-integral tan x,dx =xtan x+ln|cos x|+C
Correto.

Resposta

(a) F; (b) V; © F; (d) F; (e) V; (f) V

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