Faça um esboço da região de integração para cada integral abaixo já escrita após a mudança para coordenadas polares.
integral0^4 integral-pi2^pi2 f(r cos (theta), r sen(theta)) r d theta d r

Passo 1

O enunciado dá a integral em coordenadas polares
integral0^4integral-pi2^pi2f(rcostheta,,rsintheta),r,dtheta,dr
e pede que a gente desenhe a região de integração no plano (x,y). Vamos usar mudança para coordenadas polares e analisar os limites.

Passo 2

Em coordenadas polares temos as relações
x=rcostheta, y=rsintheta
O parâmetro rin[0,4] indica todos os pontos a distâncias de 0 até 4 da origem (dentro de um círculo de raio 4).

Passo 3

O parâmetro thetain[-tfracpi2,,tfracpi2] varia o ângulo de –90° a 90°, ou seja, cobre exatamente os pontos cujas coordenadas satisfazem
x=rcostheta>=0
Isso delimita o semiplano à direita do eixo y.

Passo 4

Combinando os dois limites, a região é o semicírculo de raio 4 centrado na origem no semiplano x>=0.
Para esboçar: desenhe um círculo de raio 4 ao redor da origem e sombreie apenas a metade para a direita do eixo y.

Resposta

A região de integração é o semicírculo de raio 4 centrado na origem, contido no semiplano x>=0 (ângulo de –90° a 90°).

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