Sobre as seguintes afirmações
I. lim x 1 x-2(x-1)^2=-infty;
II. ;
III. ;
é CORRETO afirmar:
a) Todas são verdadeiras.
b) Todas são falsas.
c) Apenas I é verdadeira.
d) Apenas I e II são verdadeiras.
e) Apenas III é verdadeira.

Passo 1

Vamos analisar três limites dados e verificar quais afirmações são verdadeiras. O conteúdo envolve propriedades de limites, continuidade de funções elementares (logaritmo e exponencial) e comportamento de razão com denominador que tende a zero.

Passo 2

Para a afirmação I, calculamos o limite
limxto 1 x-2(x-1)^2
Note que o numerador tende a -1 (pois 1-2=-1) e o denominador tende a zero sempre positivo (pois (x-1)^2>=0 para todos x, e próximo de 1 é estritamente positivo). Assim, temos uma constante negativa dividida por algo que vai para 0^+, resultando em
-10^+=-infty
Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Na afirmação II, vemos
limxto +infty lnl(1-1xr)
À medida que xto+infty, 1-1/xto1. Como o logaritmo natural é contínuo no ponto 1, podemos passar o limite para dentro da função, obtendo
lnl(1r)=0
Portanto, II é verdadeira.

Passo 4

Para a afirmação III, avaliamos
limxto -infty l(e^x-1r)
Sabemos que e^xto0 quando xto-infty. Então e^x-1to0-1=-1, que é um valor finito e não +infty. Logo, III é falsa.

Passo 5

Como apenas I e II são verdadeiras, concluímos que a alternativa correta é a que diz “Apenas I e II são verdadeiras.”

Resposta

Apenas I e II são verdadeiras.

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