Sobre as seguintes afirmações
I.
;
II.
;
III.
;
é CORRETO afirmar:
a) Todas são verdadeiras.
b) Todas são falsas.
c) Apenas I é verdadeira.
d) Apenas I e II são verdadeiras.
e) Apenas III é verdadeira.
I.
II.
III.
é CORRETO afirmar:
a) Todas são verdadeiras.
b) Todas são falsas.
c) Apenas I é verdadeira.
d) Apenas I e II são verdadeiras.
e) Apenas III é verdadeira.
Passo 1
Vamos analisar três limites dados e verificar quais afirmações são verdadeiras. O conteúdo envolve propriedades de limites, continuidade de funções elementares (logaritmo e exponencial) e comportamento de razão com denominador que tende a zero.
Passo 2
Para a afirmação I, calculamos o limite
Note que o numerador tende a
(pois
) e o denominador tende a zero sempre positivo (pois
para todos
, e próximo de
é estritamente positivo). Assim, temos uma constante negativa dividida por algo que vai para
, resultando em
Logo, I é verdadeira.
Passo 3
Na afirmação II, vemos
À medida que
,
. Como o logaritmo natural é contínuo no ponto
, podemos passar o limite para dentro da função, obtendo
Portanto, II é verdadeira.
Passo 4
Para a afirmação III, avaliamos
Sabemos que
quando
. Então
, que é um valor finito e não
. Logo, III é falsa.
Passo 5
Como apenas I e II são verdadeiras, concluímos que a alternativa correta é a que diz “Apenas I e II são verdadeiras.”
Resposta
Apenas I e II são verdadeiras.