Questão 1.(2.4pt) Para uma função f e para a in R dados, seja B(x) a área entre o gráfico de f e o intervalo [a, x]; e seja A(x)=integrala^x f(s) d s.
(V) (F) (O) (a) se f(x)=3 x-3 e a=0 então A(3)=9 / 2 e B(3)=15 / 2.
(V) (F) (O) (b) se f(x)=1-2 x então A(x)=-B(x) forall x >= a somente se a >= 1 / 2.
(V) (F) (O) © se a=0 e llraiz1-x^2, & |x| <= 1 1-x, & x>1, então A(1)=pi+12 mas B(1)=pi-12.
(V) (F) (O) (d) C in R, integral sec (x) d x=integral 1cos (x) d x=ln |cos (x)|+C, C in R.
(V) (F) (O) (e) integral exp (-2 x) d x=integral e^-2 x d x=-2 e^-2 x+C, C in R.
(V) (F) (O) (f) .
(V) (F) (O) (g) .
(V) (F) (O) (h) .

Passo 1

O enunciado apresenta funções f e define A(x)= integrala^xf(s),ds como a integral com sinal e B(x) como a área geométrica entre o gráfico de f e o eixo no intervalo [a,x], ou seja B(x)= integrala^x|f(s)|,ds. Vamos analisar cada afirmação (a) a (h) identificando se são Verdadeiras (V) ou Falsas (F).
Para cada item precisamos usar a definição de A(x) e de B(x). Em particular A(x)= integrala^xf(s),ds e B(x)= integrala^x|f(s)|,ds. Quando f muda de sinal dentro do intervalo, a integral com sinal (A) e a área (B) diferem.

Passo 2

Item (a): com f(x)=3x–3 e a=0, temos
A(3)=integral0^3(3x-3),dx=l[tfrac32x^2-3xr]0^3=272-9=92,
o que coincide com A(3)=9/2. Para B(3) calculamos as áreas positiva e negativa separadamente (cruzamento em x=1):
$$B(3)=\int_01(3-3x),dx+\int_13(3x-3),dx=\frac{3}{2}+6=\frac{15}{2}.
$$
Portanto (a) é Verdadeira.

Passo 3

Item (b): com f(x)=1-2x, a raiz é x=1/2. Se escolhermos a≥1/2, então em todo x≥a temos f(x)≤0, logo
A(x)=integrala^x(1-2s),ds<=0e B(x)=integrala^x|1-2s|,ds=-A(x),
de modo que A(x)=-B(x) ∀x≥a. Se a<1/2, f muda de sinal em x=1/2 e a relação falha para x>1/2. Logo (b) é Verdadeira.

Passo 4

Item ©: com a=0 e f(x)= raiz1-x^2 em [0,1],
A(1)=integral0^1raiz1-x^2,dx=pi4,
não ( tfracpi+12). Além disso B(1)= integral0^1raiz1-x^2,dx=tfracpi4, não ( tfracpi-12). Logo © é Falsa.

Passo 5

Item (d):
integrall(5x+23x^5r)dx=5integral x,dx+23integral x^-5,dx=5x^22-212x^-4+C=5x^22-16x^4+C,diferente de tfrac5x^22-tfrac19x^6. Então (d) é Falsa.

Passo 6

Item (e): usando u= x^2+2, du=2x dx,
integralxx^2+2dx=12ln|x^2+2|+C,e não ln|x|+x^2/4. Logo (e) é Falsa.

Passo 7

Item (f): a antiderivada correta é
integralsec x,dx=ln|sec x+tan x|+C,não ln|cos x|. Então (f) é Falsa.

Passo 8

Item (g): usando tan^2x=sec^2x-1,
integraltan^2x,dx=integral(sec^2x-1)dx=tan x-x+C,logo (g) é Verdadeira.

Passo 9

Item (h):
integral e^-2xdx=e^-2x-2+C=-tfrac12e^-2x+C,não -2e^-2x. Portanto (h) é Falsa.

Resposta

a: V, b: V, c: F, d: F, e: F, f: F, g: V, h: F

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