Questão 1.(2.4pt) Para uma função
e para
dados, seja
a área entre o gráfico de
e o intervalo
; e seja
.
(V) (F) (O) (a) se
e
então
e
.
(V) (F) (O) (b) se
então
somente se
.
(V) (F) (O) © se
e
, então
mas
.
(V) (F) (O) (d)
,
.
(V) (F) (O) (e)
.
(V) (F) (O) (f)
.
(V) (F) (O) (g)
.
(V) (F) (O) (h)
.
(V) (F) (O) (a) se
(V) (F) (O) (b) se
(V) (F) (O) © se
(V) (F) (O) (d)
(V) (F) (O) (e)
(V) (F) (O) (f)
(V) (F) (O) (g)
(V) (F) (O) (h)
Passo 1
O enunciado apresenta funções f e define A(x)=
como a integral com sinal e B(x) como a área geométrica entre o gráfico de f e o eixo no intervalo [a,x], ou seja B(x)=
. Vamos analisar cada afirmação (a) a (h) identificando se são Verdadeiras (V) ou Falsas (F).
Para cada item precisamos usar a definição de A(x) e de B(x). Em particular A(x)= e B(x)=
. Quando f muda de sinal dentro do intervalo, a integral com sinal (A) e a área (B) diferem.
Para cada item precisamos usar a definição de A(x) e de B(x). Em particular A(x)=
Passo 2
Item (a): com f(x)=3x–3 e a=0, temos
o que coincide com A(3)=9/2. Para B(3) calculamos as áreas positiva e negativa separadamente (cruzamento em x=1):
$$B(3)=\int_01(3-3x),dx+\int_13(3x-3),dx=\frac{3}{2}+6=\frac{15}{2}.
$$
Portanto (a) é Verdadeira.
Portanto (a) é Verdadeira.
Passo 3
Item (b): com f(x)=1-2x, a raiz é x=1/2. Se escolhermos a≥1/2, então em todo x≥a temos f(x)≤0, logo
de modo que A(x)=-B(x) ∀x≥a. Se a<1/2, f muda de sinal em x=1/2 e a relação falha para x>1/2. Logo (b) é Verdadeira.
Passo 4
Item ©: com a=0 e f(x)=
em [0,1],
não (
Passo 5
Item (d):
Passo 6
Item (e): usando u=
, du=2x dx,
Passo 7
Item (f): a antiderivada correta é
Passo 8
Item (g): usando
,
Passo 9
Item (h):
Resposta
a: V, b: V, c: F, d: F, e: F, f: F, g: V, h: F