Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{3 x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{3x}-1}{x}.
Informações dadas:
  • A expressão é a razão entre e^{3x}-1 (numerador) e x (denominador).
  • O ponto a que x se aproxima é x=0.
  • Não há outras condições ou parâmetros adicionais no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar se a forma da fração quando x \to 0 é uma indeterminação. Calcular os limites separados do numerador e do denominador quando x\to0.
Calcular o limite do numerador:
\lim_{x\to0} \left(e^{3x}-1\right)=e^{0}-1=1-1=0.
Calcular o limite do denominador:
\lim_{x\to0} x = 0.
Como ambos vão para 0, a expressão tem a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Essa é a situação em que a Regra de L’Hôspital pode ser aplicada (desde que as hipóteses de diferenciabilidade sejam atendidas).

Passo 3

Apresentando a Regra de L’Hôspital de forma direta e prática (sem teoremas formais complicados): se, ao calcular \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}, obtém-se a forma \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty} e f e g são diferenciáveis em um intervalo ao redor de a (exceto possivelmente em a mesmo), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite à direita exista (ou seja \pm\infty). Aqui, f(x)=e^{3x}-1 e g(x)=x. Ambas são diferenciáveis em torno de x=0 e g'(x) não é zero próximo de 0 1). Portanto podemos aplicar L’Hôspital.

Passo 4

Calcular as derivadas que aparecem na Regra de L’Hôspital.
Derivada do numerador f(x)=e^{3x}-1:
  • Usa-se a regra da cadeia: se u(x)=3x então e^{u(x)}’ = u'(x) e^{u(x)}.
  • Aqui u'(x)=3. Logo
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{3x}-1\big)=3e^{3x}.
Derivada do denominador g(x)=x:
g'(x)=\frac{d}{dx}x=1.

Passo 5

Aplicando L’Hôspital, substitui-se a razão original pela razão entre as derivadas:
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{3x}-1}{x} =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{3e^{3x}}{1} =\lim_{x \rightarrow 0} 3e^{3x}.
Agora avaliar esse limite: como e^{3x} é contínua e \lim_{x\to0} e^{3x}=e^{0}=1, temos
\lim_{x \rightarrow 0} 3e^{3x}=3\cdot 1=3.

Passo 6

Interpretação e dica prática para prova (jeito alternativo rápido): a expansão em série (ou aproximação linear) de e^{3x} perto de x=0 é
e^{3x}=1+3x+\text{termos de ordem superior em }x.
Subtraindo 1 e dividindo por x \dfrac{3x+\text{ord}(x^2)}{x}=3+\text{ord}(x), que tende para 3. Isso é uma verificação breve que não usa L’Hôspital, mas dá o mesmo resultado e é útil quando se reconhece a forma exponencial.

Resposta

3

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