Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é a razão entre
(numerador) e (denominador). - O ponto a que
se aproxima é . - Não há outras condições ou parâmetros adicionais no enunciado.
Passo 2
Primeiro passo prático: verificar se a forma da fração quando
é uma indeterminação. Calcular os limites separados do numerador e do denominador quando
.
Calcular o limite do numerador:
Calcular o limite do denominador:
Como ambos vão para
, a expressão tem a forma indeterminada
. Essa é a situação em que a Regra de L’Hôspital pode ser aplicada (desde que as hipóteses de diferenciabilidade sejam atendidas).
Passo 3
Apresentando a Regra de L’Hôspital de forma direta e prática (sem teoremas formais complicados): se, ao calcular
, obtém-se a forma
ou
e
e
são diferenciáveis em um intervalo ao redor de
(exceto possivelmente em
mesmo), então
desde que o limite à direita exista (ou seja
). Aqui,
e
. Ambas são diferenciáveis em torno de
e
não é zero próximo de
(é
). Portanto podemos aplicar L’Hôspital.
Passo 4
Calcular as derivadas que aparecem na Regra de L’Hôspital.
Derivada do numerador
:
- Usa-se a regra da cadeia: se
então ’ = . - Aqui
. Logo
Derivada do denominador
:
Passo 5
Aplicando L’Hôspital, substitui-se a razão original pela razão entre as derivadas:
Agora avaliar esse limite: como
é contínua e
, temos
Passo 6
Interpretação e dica prática para prova (jeito alternativo rápido): a expansão em série (ou aproximação linear) de
perto de
é
Subtraindo
e dividindo por
dá
, que tende para
. Isso é uma verificação breve que não usa L’Hôspital, mas dá o mesmo resultado e é útil quando se reconhece a forma exponencial.