Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A função do numerador é
. - A função do denominador é
. - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Antes de aplicar a Regra de L’Hôspital é obrigatório verificar a indeterminação: avaliar os limites separados do numerador e do denominador quando
.
Portanto a expressão tem a forma
, que é uma indeterminação permitida para aplicar a Regra de L’Hôspital.
Breve explicação do que isso significa:
quer dizer que ambos crescem sem limite, então não sabemos a razão entre eles só olhando — pode dar
, infinito ou algum número finito — por isso usamos L’Hôspital para comparar as taxas de crescimento.
Passo 3
Enunciado (versão prática) da Regra de L’Hôspital usada aqui:
Se (ou ambos
) e
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), e
nessa vizinhança, então
Se
se o limite do lado direito existir (ou for
).
No nosso caso ; as funções são diferenciáveis para
e
, então podemos aplicar.
No nosso caso
Passo 4
Calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
- Derivada de
é (válido para ). Explicando rapidamente: a função log natural tem taxa de variação inversamente proporcional a . - Derivada de
é .
Aplicando L’Hôspital:
Passo 5
Agora avaliamos o limite simples
Para
temos
(para
), e conforme
cresce sem limite a fração
fica cada vez menor, tendendo a
. Formalmente, para qualquer
basta escolher
para garantir
para todo
. Logo o limite é
.
Passo 6
Pelo passo anterior, o limite das derivadas é
. Pela Regra de L’Hôspital isso implica que o limite original também é
. Intuitivamente:
cresce muito mais rápido que
, então a razão vai a zero.