Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln (x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(x)}{x}.
Informações dadas:
  • A função do numerador é \ln(x).
  • A função do denominador é x.
  • O ponto de interesse é x \to \infty.

Passo 2

Antes de aplicar a Regra de L’Hôspital é obrigatório verificar a indeterminação: avaliar os limites separados do numerador e do denominador quando x \to \infty.
\lim_{x\to\infty}\ln(x)=\infty, \qquad \lim_{x\to\infty}x=\infty.
Portanto a expressão tem a forma \dfrac{\infty}{\infty}, que é uma indeterminação permitida para aplicar a Regra de L’Hôspital.
Breve explicação do que isso significa: \infty/\infty quer dizer que ambos crescem sem limite, então não sabemos a razão entre eles só olhando — pode dar 0, infinito ou algum número finito — por isso usamos L’Hôspital para comparar as taxas de crescimento.

Passo 3

Enunciado (versão prática) da Regra de L’Hôspital usada aqui:
Se \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=\infty (ou ambos 0) e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), e g'(x)\neq0 nessa vizinhança, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
se o limite do lado direito existir (ou for \pm\infty).
No nosso caso a=\infty; as funções são diferenciáveis para x>0 e g'(x)\neq0, então podemos aplicar.

Passo 4

Calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada de \ln(x) é \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x} (válido para x>0). Explicando rapidamente: a função log natural tem taxa de variação inversamente proporcional a x.
  • Derivada de x é \dfrac{d}{dx}x=1.
Aplicando L’Hôspital:
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\dfrac{1}{x}}{1} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}.

Passo 5

Agora avaliamos o limite simples
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}.
Para x>0 temos 0<\dfrac{1}{x}\le 1 (para x\ge1), e conforme x cresce sem limite a fração \dfrac{1}{x} fica cada vez menor, tendendo a 0. Formalmente, para qualquer \varepsilon>0 basta escolher X>\dfrac{1}{\varepsilon} para garantir \dfrac{1}{x}<\varepsilon para todo x>X. Logo o limite é 0.

Passo 6

Pelo passo anterior, o limite das derivadas é 0. Pela Regra de L’Hôspital isso implica que o limite original também é 0. Intuitivamente: x cresce muito mais rápido que \ln(x), então a razão vai a zero.

Resposta

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