Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln (x) (Dica: escreva como \frac{\ln (x)}{1 / x} )

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} x\ln(x).
Informações dadas: a variável x tende para 0 pela direita ( x>0 próximo de 0). A expressão é um produto entre x (que tende a 0^{+}) e \ln(x) (que tende a -\infty quando x\to0^{+}). O enunciado sugere reescrever como uma fração usando
x\ln(x)=\frac{\ln(x)}{1/x}.
Não se resolve nada ainda; apenas organizei o que é pedido e quais são os dados.

Passo 2

Identificar a indeterminação antes de aplicar a Regra de L’Hôspital.
Ao reescrever \,x\ln(x)=\dfrac{\ln(x)}{1/x}\,, observamos os limites das partes quando x\to0^{+}:
\ln(x)\to -\infty,\qquad \frac{1}{x}\to +\infty.
Portanto a forma da fração é do tipo \dfrac{-\infty}{+\infty}, isto é uma indeterminação do tipo \dfrac{\infty}{\infty} (sinal negativo apenas indica que o numerador diverge para -\infty). Essa é uma das indeterminações em que a Regra de L’Hôspital pode ser aplicada, desde que as hipóteses da regra sejam satisfeitas (funções diferenciáveis em um intervalo à direita de 0, exceto possivelmente em 0, etc.). Aqui ambos \ln(x) e 1/x são diferenciáveis em (0,a) para qualquer a>0, portanto podemos aplicar a regra.

Passo 3

Breve aula sobre a Regra de L’Hôspital (versão usada).
Se temos duas funções f(x) e g(x) com
\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty
ou ambas tendendo a 0, e se f e g são diferenciáveis num intervalo (excluindo possivelmente a) e g'(x)\neq0 nesse intervalo, então, quando existir o limite de \dfrac{f'(x)}{g'(x)},
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Ou seja, podemos derivar numerador e denominador e estudar o limite dessa nova fração. Importante: sempre confirmar a indeterminação antes de usar a regra — já fizemos isso no Passo 2 — e confirmar diferenciabilidade no intervalo considerado — também já verificado para x>0.

Passo 4

Aplicar a Regra de L’Hôspital à fração
\frac{\ln(x)}{1/x}.
Calcule as derivadas (mostrando passo a passo):
  • Derivada do numerador \ln(x) em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\frac{1}{x}.
  • Derivada do denominador 1/x em relação a x. É útil lembrar que 1/x = x^{-1}, então
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}.
Agora a Regra de L’Hôspital diz que
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(x)}{1/x}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 5

Simplificar a fração das derivadas e calcular o limite.
Primeiro simplificar:
\frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^{2}}} = \frac{1}{x}\cdot\left(-\frac{x^{2}}{1}\right) = -x.
Logo
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(x)}{1/x}=\lim_{x\to0^{+}}(-x).
O limite de -x quando x\to0^{+} é obviamente 0:
\lim_{x\to0^{+}}(-x)=0.

Passo 6

Concluir sobre o limite original.
Como reescrevemos x\ln(x)=\dfrac{\ln(x)}{1/x} e aplicamos a Regra de L’Hôspital com resultado 0, concluímos que
\lim_{x\to0^{+}} x\ln(x)=0.
Dica final rápida (intuição): embora \ln(x)\to -\infty, ele diverge “mais devagar” do que 1/x diverge para +\infty, de modo que o produto x\ln(x) vai a zero. Uma forma alternativa de ver isso é a substituição x=e^{-t} com t\to+\infty, que transforma x\ln(x)=-t e^{-t}\to0.

Resposta

0

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