Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
(Dica: escreva como
)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: a variável
tende para
pela direita (
próximo de
). A expressão é um produto entre
(que tende a
) e
(que tende a
quando
). O enunciado sugere reescrever como uma fração usando
Não se resolve nada ainda; apenas organizei o que é pedido e quais são os dados.
Passo 2
Identificar a indeterminação antes de aplicar a Regra de L’Hôspital.
Ao reescrever
, observamos os limites das partes quando
:
Portanto a forma da fração é do tipo
, isto é uma indeterminação do tipo
(sinal negativo apenas indica que o numerador diverge para
). Essa é uma das indeterminações em que a Regra de L’Hôspital pode ser aplicada, desde que as hipóteses da regra sejam satisfeitas (funções diferenciáveis em um intervalo à direita de
, exceto possivelmente em
, etc.). Aqui ambos
e
são diferenciáveis em
para qualquer
, portanto podemos aplicar a regra.
Passo 3
Breve aula sobre a Regra de L’Hôspital (versão usada).
Se temos duas funções
e
com
ou ambas tendendo a
, e se
e
são diferenciáveis num intervalo (excluindo possivelmente
) e
nesse intervalo, então, quando existir o limite de
,
Ou seja, podemos derivar numerador e denominador e estudar o limite dessa nova fração. Importante: sempre confirmar a indeterminação antes de usar a regra — já fizemos isso no Passo 2 — e confirmar diferenciabilidade no intervalo considerado — também já verificado para
.
Passo 4
Aplicar a Regra de L’Hôspital à fração
Calcule as derivadas (mostrando passo a passo):
- Derivada do numerador
em relação a :
- Derivada do denominador
em relação a . É útil lembrar que , então
Agora a Regra de L’Hôspital diz que
Passo 5
Simplificar a fração das derivadas e calcular o limite.
Primeiro simplificar:
Primeiro simplificar:
Logo
O limite de
quando
é obviamente
:
Passo 6
Concluir sobre o limite original.
Como reescrevemos
e aplicamos a Regra de L’Hôspital com resultado
, concluímos que
Dica final rápida (intuição): embora
, ele diverge “mais devagar” do que
diverge para
, de modo que o produto
vai a zero. Uma forma alternativa de ver isso é a substituição
com
, que transforma
.
Resposta
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