Obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com forçantes impulsivas: y’’ + 2y’ − 3y = 100 δ(t−2) + 100 δ(t−3), sujeita a y(0)=1 e y’(0)=0. Vamos usar teoria de equações diferenciais com resposta a impulsos e transformada de Laplace (ou, equivalentemente, conceito de resposta ao impulso).
Passo 2
Primeiro achamos a solução homogênea da equação associada y’’ + 2y’ − 3y = 0. A equação característica é r² + 2r − 3 = 0, cujas raízes são r₁ = 1 e r₂ = −3. Logo a solução geral homogênea é
Para 0 ≤ t < 2 (antes de qualquer impulso), impomos y(0)=1 e y’(0)=0. Calculando y’(t)=C_1 e^t − 3C_2 e^{-3t}, obtemos o sistema
Resolvendo, C_2 = 1/4 e C_1 = 3/4. Portanto, para 0 ≤ t < 2,
Passo 3
Em seguida encontramos a resposta ao impulso unitário h(t) da mesma EDO, tal que
com h(0)=0 e h’(0)=0. Pelo método de frações parciais ou diretamente, chega-se a
Passo 4
A solução particular para as forças 100 δ(t−2) e 100 δ(t−3) é a convolução de cada impulso com h(t). Como conv(δ(t−a),h(t)) = h(t−a)u(t−a), temos a contribuição
Assim a solução completa fica
Passo 5
Graficamente, y(t) cresce exponencialmente (dominado por e^t), é contínua mas sofre saltos na derivada em t=2 e t=3 de magnitude 100. Antes de t=2 a curva é suave; a partir de t=2 e de t=3 aparecem ``kinks’’ que aumentam a inclinação. Como r₁=1>0, para t→∞ y(t) diverge exponencialmente.
Passo 6
O comportamento mostra continuidade de y, descontinuidade em y’ nos instantes de impulso, e instabilidade assimptótica pela raiz positiva da característica.