Obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
y^prime prime+2 y^prime-3 y=100 de

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com forçantes impulsivas: y’’ + 2y’ − 3y = 100 δ(t−2) + 100 δ(t−3), sujeita a y(0)=1 e y’(0)=0. Vamos usar teoria de equações diferenciais com resposta a impulsos e transformada de Laplace (ou, equivalentemente, conceito de resposta ao impulso).

Passo 2

Primeiro achamos a solução homogênea da equação associada y’’ + 2y’ − 3y = 0. A equação característica é r² + 2r − 3 = 0, cujas raízes são r₁ = 1 e r₂ = −3. Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 e^-3t
Para 0 ≤ t < 2 (antes de qualquer impulso), impomos y(0)=1 e y’(0)=0. Calculando y’(t)=C_1 e^t − 3C_2 e^{-3t}, obtemos o sistema
C1 + C2 = 1,
C1 - 3C2 = 0
Resolvendo, C_2 = 1/4 e C_1 = 3/4. Portanto, para 0 ≤ t < 2,
y(t) = 34e^t + 14e^-3t

Passo 3

Em seguida encontramos a resposta ao impulso unitário h(t) da mesma EDO, tal que
h'' + 2h' - 3h = de
com h(0)=0 e h’(0)=0. Pelo método de frações parciais ou diretamente, chega-se a
h(t) = 1r1 - r2l(e^r1 t - e^r2 tr)u(t) = 14l(e^t - e^-3tr)u(t)

Passo 4

A solução particular para as forças 100 δ(t−2) e 100 δ(t−3) é a convolução de cada impulso com h(t). Como conv(δ(t−a),h(t)) = h(t−a)u(t−a), temos a contribuição
100,h(t-2)u(t-2) + 100,h(t-3)u(t-3) = 25l(e^t-2 - e^-3(t-2)r)u(t-2) + 25l(e^t-3 - e^-3(t-3)r)u(t-3)
Assim a solução completa fica
y(t) = 34e^t + 14e^-3t + 25l(e^t-2-e^-3(t-2)r)u(t-2) + 25l(e^t-3-e^-3(t-3)r)u(t-3)

Passo 5

Graficamente, y(t) cresce exponencialmente (dominado por e^t), é contínua mas sofre saltos na derivada em t=2 e t=3 de magnitude 100. Antes de t=2 a curva é suave; a partir de t=2 e de t=3 aparecem ``kinks’’ que aumentam a inclinação. Como r₁=1>0, para t→∞ y(t) diverge exponencialmente.

Passo 6

O comportamento mostra continuidade de y, descontinuidade em y’ nos instantes de impulso, e instabilidade assimptótica pela raiz positiva da característica.

Resposta

y(t) = 34e^t + 14e^-3t + 25l(e^t-2-e^-3(t-2)r)u(t-2) + 25l(e^t-3-e^-3(t-3)r)u(t-3)

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