Calcule os seguintes limites, utilizando a regra de L’Hospital:
lim x +infty[e^-x cdot x^3]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto+infty e^-x,x^3 usando a regra de L’Hospital. O conteúdo principal é identificar a indeterminação e aplicar sucessivas vezes a derivação de numerador e denominador.

Passo 2

Reescrevemos o produto como quociente:
limxto+infty e^-x,x^3 = limxto+infty x^3e^x
Para xto+infty, temos numerador x^3to+infty e denominador e^xto+infty, ou seja, forma infty/infty.

Passo 3

Como ainda há indeterminação, aplicamos L’Hospital duas vezes de uma vez só:
Primeira derivação:
ddxl(x^3r)=3x^2 e ddxl(e^xr)=e^x,
então o limite vira limxto+infty3x^2e^x.
Segunda derivação:
ddx(3x^2)=6x e ddx(e^x)=e^x,
ficamos com limxto+infty6xe^x.

Passo 4

Ainda é indeterminação infty/infty, então aplicamos L’Hospital pela terceira vez:
ddx(6x)=6 e ddx(e^x)=e^x,
restando o limite limxto+infty6e^x.

Passo 5

Como e^xto+infty quando xto+infty, temos 6/e^xto0. Portanto, o limite original vale 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados