Calcule os seguintes limites (sem utilizar a regra de L’Hospital)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse limite juntos. A questão pede para calcular:
lim x +infty(1+23 x)^5 x
Aqui estamos lidando com limites e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressões do tipo (1 + ax)^bx se comportam quando x tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um limite muito útil:
limn to infty (1 + an)^n = e^a
Essa é a definição da constante e elevada a a. Nosso objetivo é transformar o limite que temos na questão para se parecer com esse formato.

Passo 3

Vamos comparar os dois limites. Na nossa expressão:
(1 + 23x)^5x
Perceba que temos 23x dentro do parênteses e 5x no expoente. Queremos que o coeficiente de x no denominador seja igual a 1, como no limite padrão. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja n = 3x, então quando x +infty, também n +infty.

Passo 4

Substituindo n = 3x na expressão original, temos:
(1 + 2n)^5n3
Agora, a expressão fica:
[(1 + 2n)^n]^53

Passo 5

Agora, usando o limite que lembramos no Passo 2:
limn to infty (1 + 2n)^n = e^2
Então, nossa expressão fica:
(e^2)^53 = e^103

Resposta

O limite é igual a e^103.

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