Calcule os seguintes limites (sem utilizar a regra de L’Hospital)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse limite juntos. A questão pede para calcular:
Aqui estamos lidando com limites e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressões do tipo
se comportam quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um limite muito útil:
Essa é a definição da constante
elevada a
. Nosso objetivo é transformar o limite que temos na questão para se parecer com esse formato.
Passo 3
Vamos comparar os dois limites. Na nossa expressão:
Perceba que temos
dentro do parênteses e
no expoente. Queremos que o coeficiente de
no denominador seja igual a 1, como no limite padrão. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja
, então quando
, também
.
Passo 4
Substituindo
na expressão original, temos:
Agora, a expressão fica:
Passo 5
Agora, usando o limite que lembramos no Passo 2:
Então, nossa expressão fica:
Resposta
O limite é igual a
.