Calcule os seguintes limites (sem utilizar a regra de L’Hospital)
lim x 1 x^3-4 x+3x^5-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto 1x^3-4x+3x^5-2x+1 sem usar a regra de L’Hospital. Vamos precisar usar fatoração de polinômios e propriedade de limite de quociente.

Passo 2

Primeiro, substituímos x=1 na expressão para ver que tipo de forma aparece. No numerador: 1^3-4cdot1+3=0. No denominador: 1^5-2cdot1+1=0. Ou seja, temos uma forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Para resolver a indeterminação, vamos factorizar o numerador x^3-4x+3. Como x=1 é raiz, sabemos que (x-1) é fator. Fazendo divisão sintética ou fatoração direta, obtemos:
x^3-4x+3=(x-1)(x^2+x-3)

Passo 4

De modo análogo, factoramos o denominador x^5-2x+1. Sabendo que x=1 anula o polinômio, dividimos por (x-1) e achamos:
x^5-2x+1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x-1)

Passo 5

Agora a expressão do limite fica
x^3-4x+3x^5-2x+1 = (x-1)(x^2+x-3)(x-1)(x^4+x^3+x^2+x-1)
Cancelamos o fator comum (x-1) (válido para xneq1) e obtemos
limxto1x^2+x-3x^4+x^3+x^2+x-1
Agora basta substituir x=1 sem indeterminação.

Passo 6

Substituindo x=1 no quociente simplificado, o numerador dá 1^2+1-3=-1 e o denominador dá 1+1+1+1-1=3. Portanto o limite vale -1/3.

Resposta

-\tfrac{1}{3}

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