Calcule os seguintes limites (sem utilizar a regra de L’Hospital)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
sem usar a regra de L’Hospital. Vamos precisar usar fatoração de polinômios e propriedade de limite de quociente.
Passo 2
Primeiro, substituímos
na expressão para ver que tipo de forma aparece. No numerador:
. No denominador:
. Ou seja, temos uma forma indeterminada
.
Passo 3
Para resolver a indeterminação, vamos factorizar o numerador
. Como
é raiz, sabemos que
é fator. Fazendo divisão sintética ou fatoração direta, obtemos:
Passo 4
De modo análogo, factoramos o denominador
. Sabendo que
anula o polinômio, dividimos por
e achamos:
Passo 5
Agora a expressão do limite fica
Cancelamos o fator comum
(válido para
) e obtemos
Agora basta substituir
sem indeterminação.
Passo 6
Substituindo
no quociente simplificado, o numerador dá
e o denominador dá
. Portanto o limite vale
.
Resposta
-\tfrac{1}{3}