(1,5 ponto) Dada a função l2 x+3, se x<2 1, se x=2 x^2+3, se x>2, pede-se:
a) f(2)
b) lim x 2^- f(x)
c) lim x 2^+ f(x)
d) lim x 2 f(x)
e) f é contínua em x=2 ? Justifique.

Passo 1

No enunciado temos a função por partes
f(x)=2x+3,&x<21,&x=2x^2+3,&x>2
O objetivo é encontrar o valor em 2, os limites laterais, o limite total e checar a continuidade em x=2 usando definição de limite e definição de continuidade.

Passo 2

Para calcular f(2), basta usar a definição direta no ponto x=2, que nos dá
f(2)=1 .

Passo 3

Para obter o limite esquerdo limxto2^-f(x), usamos a expressão válida para x<2, que é 2x+3. Assim,
limxto2^-f(x)=limxto2^-(2x+3)=2cdot2+3=7

Passo 4

Para o limite direito limxto2^+f(x), usamos a expressão para x>2, que é x^2+3. Logo,
limxto2^+f(x)=limxto2^+(x^2+3)=2^2+3=7

Passo 5

Como os limites laterais coincidem em 7, o limite total existe e vale
limxto2f(x)=7

Passo 6

A função é contínua em x=2 se limxto2f(x)=f(2). Aqui temos limxto2f(x)=7 e f(2)=1, que são diferentes. Portanto, f não é contínua em x=2.

Resposta

f(2)=1, limxto2^-f(x)=7, limxto2^+f(x)=7, limxto2f(x)=7, e f não é contínua em x=2 pois f(2)=1 difere de limxto2f(x)=7.

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