Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^inftyn+1n^2
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é teste de séries numéricas, em especial o uso de séries-p (p-series) e decomposição de termos.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral da série:
n+1n^2 = nn^2 + 1n^2 = 1n + 1n^2

Passo 3

Portanto, a série original se escreve como soma de duas séries:
sumn=1^inftyn+1n^2 = sumn=1^infty1n + sumn=1^infty1n^2

Passo 4

Aplicando o teste de séries-p, sabemos que para
sumn=1^infty1n^p,
ela converge se p>1 e diverge se p<=1. Aqui temos:
sumn=1^infty1n (aqui (p=1)) diver>=,
sumn=1^infty1n^2 (aqui (p=2)) conver>=

Passo 5

Como a soma de séries inclui sum1/n, que diverge, a série toda
sum(n+1)/n^2 também diverge (basta que uma parcela diverga para a soma divergir).

Resposta

A série diverge.

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