Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é teste de séries numéricas, em especial o uso de séries-p (p-series) e decomposição de termos.
Passo 2
Vamos decompor o termo geral da série:
Passo 3
Portanto, a série original se escreve como soma de duas séries:
Passo 4
Aplicando o teste de séries-p, sabemos que para
ela converge se
e diverge se
. Aqui temos:
Passo 5
Como a soma de séries inclui
, que diverge, a série toda
também diverge (basta que uma parcela diverga para a soma divergir).
Resposta
A série diverge.