Determine a derivada das funções abaixo:
y=\left(x^{5}-3 x\right)^{4}

Passo 1

O enunciado dá a função \;y=\left(x^{5}-3 x\right)^{4}\; e pede para determinar a derivada \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes que temos: a função é uma composição — uma função potência (elevar a quarta) aplicada à expressão polinomial x^{5}-3x. Não há outros dados.

Passo 2

Idéia do método (em linguagem simples): quando uma função é composta, do tipo y=f(g(x)), a derivada é dada pela regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Aqui é útil fazer a substituição temporária \;u=x^{5}-3x\;, assim \;y=u^{4}\;. Vou calcular \dfrac{dy}{du} e \dfrac{du}{dx} e depois aplicar a regra da cadeia. Exemplo rápido para fixar: se y=(2x+1)^3, então y'=3(2x+1)^2\cdot2.

Passo 3

Calcular \dfrac{du}{dx} com u=x^{5}-3x. Usando a regra da potência \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} e que \dfrac{d}{dx}(a x)=a:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\big(x^{5}\big)-\frac{d}{dx}\big(3x\big)=5x^{4}-3.

Passo 4

Calcular \dfrac{dy}{du} com y=u^{4}. Usando a regra da potência:
\frac{dy}{du}=4u^{3}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=4u^{3}\cdot\big(5x^{4}-3\big).
Substituindo u=x^{5}-3x de volta:
\frac{dy}{dx}=4\big(x^{5}-3x\big)^{3}\big(5x^{4}-3\big).
Como formas equivalentes úteis na prova, pode-se reescrever também como
\frac{dy}{dx}=\big(20x^{4}-12\big)\big(x^{5}-3x\big)^{3}
ou fatorando x da base antes de elevar,
\frac{dy}{dx}=4\big(5x^{4}-3\big)x^{3}\big(x^{4}-3\big)^{3}.

Passo 6

Dica prática para a prova: ao ver uma expressão do tipo (\text{algo})^{n}, pense imediatamente em u=\text{algo} e aplique a regra da cadeia: derivate a potência (multiplica por n e diminui o expoente) e em seguida multiplica pela derivada do “algo”. Respira fundo, faz a substituição e multiplica — funciona sempre.

Resposta

\frac{dy}{dx}=4\big(x^{5}-3x\big)^{3}\big(5x^{4}-3\big)

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