Determine a derivada das funções abaixo:
y=\left(x^{2}-2\right)^{500}

Passo 1

O enunciado dá a função y=\left(x^{2}-2\right)^{500} e pede para determinar a derivada em relação a x. Ou seja, queremos calcular \dfrac{dy}{dx} (também escrito y').

Passo 2

Observe que a função é uma composição: há uma parte “interna” u(x)=x^{2}-2 e uma parte “externa” f(u)=u^{500}. Escrever assim ajuda a aplicar a regra adequada sem confusão.

Passo 3

A regra que usamos é a regra da cadeia. Ela diz que, para uma composição y=f(g(x)),
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Interpretação simples: derive a função externa em relação ao seu argumento (como se fosse u), depois multiplique pela derivada da função interna em relação a x.

Passo 4

Calcule as derivadas das partes:
  • Derivada da externa f(u)=u^{500} em relação a u: pela regra do poder (power rule),
f'(u)=500\,u^{499}.
Explicando a regra do poder: se h(u)=u^{n} com n constante, então h'(u)=n\,u^{n-1}.
  • Derivada da interna u(x)=x^{2}-2 em relação a x:
u'(x)=2x,
pois a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de uma constante é 0.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia: substituímos u=x^{2}-2 em f'(u) e multiplicamos por u'(x):
\frac{dy}{dx}=f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=500\,(x^{2}-2)^{499}\cdot 2x.
Simplificando os coeficientes:
\frac{dy}{dx}=1000\,x\,(x^{2}-2)^{499}.

Passo 6

Comentário extra para fixar (exemplo curto): para ver que o processo é o mesmo em casos simples, considere y=(3x+1)^{2}. Pelo mesmo raciocínio obtemos y'=2(3x+1)\cdot3=6(3x+1). A ideia é sempre derivar o expoente e multiplicar pela derivada do que está dentro dos parênteses.

Resposta

y'=1000\,x\,(x^{2}-2)^{499}

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