Calcule as seguintes probabilidades:
\operatorname{Pr}(1,54 \leq Z<3,12)

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a probabilidade
\Pr(1,54 \leq Z < 3,12),
onde Z é a variável aleatória padrão normalmente distribuída (distribuição normal padrão). As informações dadas são apenas os limites 1,54 e 3,12. A nossa tarefa é encontrar a probabilidade de Z cair entre esses dois valores.

Passo 2

Entendendo o que precisamos usar (sem pular etapas): para a normal padrão definimos a função de distribuição acumulada
\Phi(z)=\Pr(Z<z),
que dá a probabilidade de Z ser menor que um valor z. Como a distribuição normal é contínua, a probabilidade de um ponto isolado é zero, logo
\Pr(1,54 \leq Z < 3,12)=\Pr(Z<3,12)-\Pr(Z<1,54).
Em notação com \Phi:
\Pr(1,54 \leq Z < 3,12)=\Phi(3,12)-\Phi(1,54).
Explicação curta do porquê: a probabilidade entre a e b é a área acumulada até b menos a área acumulada até a.

Passo 3

Agora precisamos dos valores de \Phi em 1,54 e em 3,12. Normalmente consultamos uma tabela da normal padrão (tabela de \Phi) que dá \Phi(z) para z com duas casas decimais. O procedimento de leitura é: separar a parte inteira e a primeira casa decimal (linha) e a segunda casa decimal (coluna). Por exemplo, para 1,54 usamos a linha 1,5 e a coluna 0,04.
Do quadro/tabela padrão obtemos (valores tabelados):
\Phi(1,54)=0,9382.
E para 3,12 (tabelas também dão valores para z grandes, próximos a 3) obtemos:
\Phi(3,12)=0,9991.
(Estes valores são os encontrados nas tabelas usuais da normal padrão; se você usar outra tabela ou calculadora deve obter valores muito próximos.)

Passo 4

Agora fazemos a subtração pedida:
\Pr(1,54 \leq Z < 3,12)=\Phi(3,12)-\Phi(1,54)=0,9991-0,9382.
Calcule passo a passo a diferença:
0,9991-0,9382=0,0609.

Passo 5

Interpretação final: a probabilidade de Z estar entre 1,54 e 3,12 é 0,0609, isto é, cerca de 6{,}09\%. Força aí — é uma área pequena porque ambos os pontos estão à direita da média 0, e valores maiores que 1{,}5 já estão em cauda direita da normal.

Resposta

0,0609

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