Calcule as seguintes probabilidades:
\operatorname{Pr}(Z \leq-4,89)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \operatorname{Pr}(Z \leq -4,89).
Informações dadas (assumidas como padrão para esse tipo de notação): Z é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, tem média 0 e variância 1. Então queremos a probabilidade de que essa normal padrão seja menor ou igual a -4,89.

Passo 2

Estratégia geral (explicação didática): para uma normal padrão usamos a função distribuição acumulada \Phi(z)=\operatorname{Pr}(Z\le z). Pelo fato da distribuição normal padrão ser simétrica em torno de zero, vale a identidade
\operatorname{Pr}(Z\le -a)=\operatorname{Pr}(Z\ge a)=1-\Phi(a),
para a>0. Aqui vamos calcular \operatorname{Pr}(Z\le -4,89)=\operatorname{Pr}(Z\ge 4,89).

Passo 3

Como a=4,89 é um valor muito grande (cauda extrema), tabelas usuais de \Phi não chegam tão longe e o resultado é um número muito pequeno. Para esses casos usamos uma aproximação assintótica para a cauda da normal (conhecida como estimativa de Mill), que diz, para z>0,
\operatorname{Pr}(Z\ge z)\approx \frac{1}{z\sqrt{2\pi}}e^{-z^{2}/2}\left(1-\frac{1}{z^{2}}\right),
onde \sqrt{2\pi} é a raiz quadrada de 2\pi e e é a base dos logaritmos naturais. Vou usar essa fórmula com os termos mostrados porque dá boa precisão para z tão grande quanto 4,89. A explicação rápida: o fator exponencial e^{-z^{2}/2} domina a queda da cauda; o fator \frac{1}{z\sqrt{2\pi}} é um ajuste de escala; o termo \left(1-\frac{1}{z^{2}}\right) é uma correção de ordem inferior que melhora a precisão.

Passo 4

Calcule z^{2} e o expoente:
z=4,89
z^{2}=4,89^{2}=23,9121.
Metade disso (usada no expoente) é
\frac{z^{2}}{2}=11,95605.

Passo 5

Calcule o fator exponencial e^{-z^{2}/2}. Usamos uma aproximação manipulando e^{-11,95605} próxima a e^{-12}\cdot e^{0,04395}. Sabendo que e^{-12}\approx 6,144212\times 10^{-6} e e^{0,04395}\approx 1,04495, obtemos
e^{-11,95605}\approx 6,144212\times 10^{-6}\times 1,04495\approx 6,417\times 10^{-6}.

Passo 6

Calcule o fator multiplicativo \dfrac{1}{z\sqrt{2\pi}}. Sabendo \sqrt{2\pi}\approx 2,506628,
z\sqrt{2\pi}=4,89\times 2,506628\approx 12,2595,
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\frac{1}{z\sqrt{2\pi}}\approx \frac{1}{12,2595}\approx 0,08158.

Passo 7

Multiplique o prefator pelo exponencial para obter a aproximação de primeira ordem da cauda:
\frac{1}{z\sqrt{2\pi}}e^{-z^{2}/2}\approx 0,08158\times 6,417\times 10^{-6}\approx 5,236\times 10^{-7}.

Passo 8

Aplique a correção \left(1-\dfrac{1}{z^{2}}\right). Primeiro calcule 1/z^{2}:
\frac{1}{z^{2}}=\frac{1}{23,9121}\approx 0,04183,
então
1-\frac{1}{z^{2}}\approx 0,95817.
Multiplicando pela aproximação anterior:
5,236\times 10^{-7}\times 0,95817\approx 5,016\times 10^{-7}.

Passo 9

Interpretação e arredondamento final: portanto
\operatorname{Pr}(Z\ge 4,89)\approx 5,02\times 10^{-7}.
Pelo passo 2 (simetria), esse é também o valor de \operatorname{Pr}(Z\le -4,89). Esse número é extremamente pequeno — na prática, quando você vê -4,89 na normal padrão, a probabilidade associada é praticamente zero, mas aqui temos uma estimativa numérica precisa.

Resposta

\,5,02\times 10^{-7}

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