Calcule as seguintes probabilidades:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
.
Informações dadas (assumidas como padrão para esse tipo de notação):
é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, tem média
e variância
. Então queremos a probabilidade de que essa normal padrão seja menor ou igual a
.
Passo 2
Estratégia geral (explicação didática): para uma normal padrão usamos a função distribuição acumulada
. Pelo fato da distribuição normal padrão ser simétrica em torno de zero, vale a identidade
para
. Aqui vamos calcular
.
Passo 3
Como
é um valor muito grande (cauda extrema), tabelas usuais de
não chegam tão longe e o resultado é um número muito pequeno. Para esses casos usamos uma aproximação assintótica para a cauda da normal (conhecida como estimativa de Mill), que diz, para
,
onde
é a raiz quadrada de
e
é a base dos logaritmos naturais. Vou usar essa fórmula com os termos mostrados porque dá boa precisão para
tão grande quanto
. A explicação rápida: o fator exponencial
domina a queda da cauda; o fator
é um ajuste de escala; o termo
é uma correção de ordem inferior que melhora a precisão.
Passo 4
Calcule
e o expoente:
Metade disso (usada no expoente) é
Passo 5
Calcule o fator exponencial
. Usamos uma aproximação manipulando
próxima a
. Sabendo que
e
, obtemos
Passo 6
Calcule o fator multiplicativo
. Sabendo
,
logo
Passo 7
Multiplique o prefator pelo exponencial para obter a aproximação de primeira ordem da cauda:
Passo 8
Aplique a correção
. Primeiro calcule
:
então
Multiplicando pela aproximação anterior:
Passo 9
Interpretação e arredondamento final: portanto
Pelo passo 2 (simetria), esse é também o valor de
. Esse número é extremamente pequeno — na prática, quando você vê
na normal padrão, a probabilidade associada é praticamente zero, mas aqui temos uma estimativa numérica precisa.