Calcule as seguintes probabilidades:
\operatorname{Pr}(Z>4,80)

Passo 1

O enunciado pede calcular \operatorname{Pr}(Z>4,80).
Informações que temos explicitamente: a probabilidade pedida é a de a variável Z ser maior que 4,80. Vou assumir a convenção habitual: Z é a variável aleatória padronizada, isto é, com distribuição normal de média 0 e variância 1 (normal padrão).
Pergunta clara e única: qual é o valor numérico de \operatorname{Pr}(Z>4,80)?

Passo 2

O que significa calcular \operatorname{Pr}(Z>z) quando Z é normal padrão?
Definição e notação: seja \Phi(z) a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão, isto é,
\Phi(z)=\operatorname{Pr}(Z\le z).
Então, pela relação entre cauda e CDF,
\operatorname{Pr}(Z>z)=1-\Phi(z).
Neste problema temos z=4,80. Em muitos livros/tabelas a tabela da normal padrão não dá valores tão extremos (como 4,80), porque a probabilidade fica muito próxima de zero. Por isso vamos usar uma aproximação assintótica para a cauda da normal (fórmula de Mills), que é prática e suficientemente precisa para valores grandes de z.
A aproximação básica para a cauda é:
\operatorname{Pr}(Z>z)\approx \frac{1}{z\sqrt{2\pi}}\;e^{-z^{2}/2},
onde z>0. Nesta fórmula:
  • z é o ponto onde avaliamos a cauda (aqui z=4,80);
  • \sqrt{2\pi} vem da constante da densidade normal padrão;
  • e^{-z^{2}/2} corresponde ao decaimento exponencial da densidade normal na cauda.
    Esta aproximação dá uma ordem de grandeza muito boa. Para melhorar um pouco a precisão podemos multiplicar por um fator corretivo aproximado (1-1/z^{2}) (próximo termo na expansão assintótica), ou seja:
\operatorname{Pr}(Z>z)\approx \frac{1}{z\sqrt{2\pi}}\;e^{-z^{2}/2}\left(1-\frac{1}{z^{2}}\right).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo para z=4,80.

Passo 3

Calculemos os termos necessários para z=4,80.
  1. Primeiro z^{2} e z^{2}/2:
z^{2}=(4,80)^{2}=23,04,
\frac{z^{2}}{2}=\frac{23,04}{2}=11,52.
  1. Agora e^{-z^{2}/2}=e^{-11,52}. Vamos obter uma aproximação numérica:
e^{-11,52}\approx 9{,}929\times 10^{-6}.
(esse valor vem de calcular a exponencial; uma forma mental rápida: e^{-11,52}=10^{-11{,}52/\ln 10} e obter a aproximação mostrada.)
  1. Calcule o fator 1/(z\sqrt{2\pi}). Sabendo \sqrt{2\pi}\approx 2{,}5066282746,
z\sqrt{2\pi}=4{,}80\cdot 2{,}5066282746\approx 12{,}031815,
\frac{1}{z\sqrt{2\pi}}\approx 0{,}083129.
  1. Multiplicando esses dois termos (a parte básica da aproximação):
\frac{1}{z\sqrt{2\pi}}\,e^{-z^{2}/2}\approx 0{,}083129\times 9{,}929\times 10^{-6}\approx 8{,}254\times 10^{-7}.

Passo 4

Aplicando a melhoria com o fator corretivo \left(1-\dfrac{1}{z^{2}}\right) para maior precisão:
  1. Calcule \dfrac{1}{z^{2}}=\dfrac{1}{23{,}04}\approx 0{,}0434028.
  2. O fator corretivo é
1-\frac{1}{z^{2}}\approx 1-0{,}0434028=0{,}9565972.
  1. Multiplicando pelo valor do passo anterior:
\operatorname{Pr}(Z>4,80)\approx 8{,}254\times 10^{-7}\times 0{,}9565972\approx 7{,}90\times 10^{-7}.
Portanto a probabilidade é da ordem de grandeza de 10^{-7}, isto é, praticamente zero para efeitos práticos, mas o valor numérico aproximado é o calculado acima.

Resposta

\;7,90\times 10^{-7}

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