Calcule as seguintes probabilidades:
Passo 1
O enunciado pede calcular
.
Informações que temos explicitamente: a probabilidade pedida é a de a variável ser maior que
. Vou assumir a convenção habitual:
é a variável aleatória padronizada, isto é, com distribuição normal de média
e variância
(normal padrão).
Pergunta clara e única: qual é o valor numérico de ?
Informações que temos explicitamente: a probabilidade pedida é a de a variável
Pergunta clara e única: qual é o valor numérico de
Passo 2
O que significa calcular
quando
é normal padrão?
Definição e notação: seja a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão, isto é,
Definição e notação: seja
Então, pela relação entre cauda e CDF,
Neste problema temos
. Em muitos livros/tabelas a tabela da normal padrão não dá valores tão extremos (como
), porque a probabilidade fica muito próxima de zero. Por isso vamos usar uma aproximação assintótica para a cauda da normal (fórmula de Mills), que é prática e suficientemente precisa para valores grandes de
.
A aproximação básica para a cauda é:
onde
. Nesta fórmula:
-
é o ponto onde avaliamos a cauda (aqui ); -
vem da constante da densidade normal padrão; -
corresponde ao decaimento exponencial da densidade normal na cauda.
Esta aproximação dá uma ordem de grandeza muito boa. Para melhorar um pouco a precisão podemos multiplicar por um fator corretivo aproximado(próximo termo na expansão assintótica), ou seja:
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo para
.
Passo 3
Calculemos os termos necessários para
.
- Primeiro
e :
- Agora
. Vamos obter uma aproximação numérica:
(esse valor vem de calcular a exponencial; uma forma mental rápida:
e obter a aproximação mostrada.)
- Calcule o fator
. Sabendo ,
- Multiplicando esses dois termos (a parte básica da aproximação):
Passo 4
Aplicando a melhoria com o fator corretivo
para maior precisão:
-
Calcule
-
O fator corretivo é
- Multiplicando pelo valor do passo anterior:
Portanto a probabilidade é da ordem de grandeza de
, isto é, praticamente zero para efeitos práticos, mas o valor numérico aproximado é o calculado acima.