Calcule os seguintes produtos internos:
(-2 \vec{i}+3 \vec{j}-\vec{k}) \cdot(3 \vec{i}-2 \vec{j}+7 \vec{k})

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto interno (produto escalar) entre os dois vetores dados. As informações fornecidas são:
\vec{u} = -2\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}
\vec{v} = 3\vec{i}-2\vec{j}+7\vec{k}
A tarefa é encontrar \vec{u}\cdot\vec{v}.

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática que usamos para calcular produto interno quando os vetores estão escritos na base canônica \{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}.
Se
\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}
e
\vec{b}=b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{k},
então o produto escalar é dado por
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Explicando devagar: cada componente do primeiro vetor multiplica a componente correspondente do segundo vetor e então somamos esses produtos. O resultado é um número (um escalar).

Passo 3

Identificamos as componentes dos vetores dados:
\vec{u}: \quad a_x=-2,\; a_y=3,\; a_z=-1
\vec{v}: \quad b_x=3,\; b_y=-2,\; b_z=7

Passo 4

Aplicando a fórmula do produto escalar, multiplicamos componente a componente:
\vec{u}\cdot\vec{v}=(-2)\cdot 3 \;+\; 3\cdot(-2) \;+\; (-1)\cdot 7.

Passo 5

Calculamos cada produto e somamos:
(-2)\cdot 3 = -6,
3\cdot(-2) = -6,
(-1)\cdot 7 = -7.
Somando:
-6 + (-6) + (-7) = -19.

Passo 6

Comentário didático rápido e motivador: o produto escalar que achamos é um número -19. Ele não é zero, então os vetores não são perpendiculares. Lembre-se: para qualquer exercício parecido, basta extrair as componentes e aplicar a soma dos produtos correspondentes — é direto e rápido na prova. Você está indo bem; pratique mais alguns casos assim para pegar confiança!

Resposta

-19

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