Verifique se os seguintes vetores são linearmente independentes: 3 \vec{i}+2 \vec{j}+\vec{k}, 2 \vec{i}+\vec{j}+3 \vec{k}, 4 \vec{i}+3 \vec{j}+6 \vec{k}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores \;3\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k},\;2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k},\;4\vec{i}+3\vec{j}+6\vec{k}\; são linearmente independentes.
Informações dadas (convertidas em coordenadas):
Pergunta objetiva: existe alguma combinação linear não trivial \;a\vec{v}_1+b\vec{v}_2+c\vec{v}_3=\vec{0}\; com (a,b,c)\neq(0,0,0)? Se só existir a solução trivial a=b=c=0, então são linearmente independentes; caso contrário são dependentes.]
Passo 2
Método escolhido (explicando o porquê de forma simples): vou escrever a condição de combinação linear nula como um sistema homogêneo de equações para os escalares a,b,c e resolver por eliminação de Gauss. Isso é direto e usa operações de adição e multiplicação que você consegue fazer sem calculadora. Lembrete rápido do conceito importante: um sistema homogêneo M\mathbf{x}=\mathbf{0} tem apenas a solução trivial se e somente se a matriz M tem posto máximo (aqui, posto 3 para uma matriz 3\times3). Resolver o sistema mostra isso de maneira concreta.
Passo 3
Escrevendo a combinação linear \;a\vec{v}_1+b\vec{v}_2+c\vec{v}_3=\vec{0}\;\) em coordenadas obtemos o sistema
\[\begin{cases} 3a+2b+4c=0,\\[4pt] 2a+1b+3c=0,\\[4pt] 1a+3b+6c=0. \end{cases}
Vou aplicar eliminação de Gauss nessa matriz de coeficientes para encontrar (a,b,c].]
Passo 4
Primeiro passo prático: para evitar frações chatas, eu troco a ordem das linhas e uso a linha mais simples como pivô. Troco a linha 1 com a linha 3 (operação permitida que não altera o conjunto de soluções). A matriz fica:
Importante: aqui obtivemos pivôs não nulos nas 3 linhas (1,\,-5,\,-\tfrac{7}{5}); isso indica que o sistema homogêneo tem posto 3 e deve ter apenas a solução trivial.]
Passo 6
Agora fazemos substituição regressiva para obter a,b,c. A partir da terceira linha temos
-\tfrac{7}{5}\,c = 0 \quad\Rightarrow\quad c=0.
Substituindo c=0 na segunda linha:
-5\,b -9\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad b=0.
Substituindo b=0, c=0 na primeira linha:
a + 3b + 6c = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 0.
Portanto a única solução do sistema homogêneo é a=b=c=0, a solução trivial.
Passo 7
Conclusão lógica e interpretação: como a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, os três vetores não são combinação linear não-trivial entre si. Em outras palavras, eles são linearmente independentes. Vai lá, você conseguiu: com eliminação vimos que a matriz de coeficientes tem posto máximo (3), o que garante independência linear.