Verifique se os seguintes vetores são linearmente independentes:
3 \vec{i}+2 \vec{j}+\vec{k}, 2 \vec{i}+\vec{j}+3 \vec{k}, 4 \vec{i}+3 \vec{j}+6 \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores \;3\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k},\;2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k},\;4\vec{i}+3\vec{j}+6\vec{k}\; são linearmente independentes.
Informações dadas (convertidas em coordenadas):
\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \vec{v}_2 = \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]3\end{pmatrix},\qquad \vec{v}_3 = \begin{pmatrix}4\\[4pt]3\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Pergunta objetiva: existe alguma combinação linear não trivial \;a\vec{v}_1+b\vec{v}_2+c\vec{v}_3=\vec{0}\; com (a,b,c)\neq(0,0,0)? Se só existir a solução trivial a=b=c=0, então são linearmente independentes; caso contrário são dependentes.]

Passo 2

Método escolhido (explicando o porquê de forma simples): vou escrever a condição de combinação linear nula como um sistema homogêneo de equações para os escalares a,b,c e resolver por eliminação de Gauss. Isso é direto e usa operações de adição e multiplicação que você consegue fazer sem calculadora. Lembrete rápido do conceito importante: um sistema homogêneo M\mathbf{x}=\mathbf{0} tem apenas a solução trivial se e somente se a matriz M tem posto máximo (aqui, posto 3 para uma matriz 3\times3). Resolver o sistema mostra isso de maneira concreta.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear \;a\vec{v}_1+b\vec{v}_2+c\vec{v}_3=\vec{0}\;\) em coordenadas obtemos o sistema \[\begin{cases} 3a+2b+4c=0,\\[4pt] 2a+1b+3c=0,\\[4pt] 1a+3b+6c=0. \end{cases}
Em forma matricial:
\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4\\[4pt] 2 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt]b\\[4pt]c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Vou aplicar eliminação de Gauss nessa matriz de coeficientes para encontrar (a,b,c].]

Passo 4

Primeiro passo prático: para evitar frações chatas, eu troco a ordem das linhas e uso a linha mais simples como pivô. Troco a linha 1 com a linha 3 (operação permitida que não altera o conjunto de soluções). A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 6\\[4pt] 2 & 1 & 3\\[4pt] 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
Agora elimino os elementos abaixo do pivô da primeira coluna usando combinações lineares de linhas:
  • Faço \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\text{R}_1.
  • Faço \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 3\text{R}_1.
Calculemos cada nova linha explicitamente:
\text{R}_2: \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix}1\\[2pt]3\\[2pt]6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]1-6\\[2pt]3-12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]-5\\[2pt]-9\end{pmatrix},
\text{R}_3: \begin{pmatrix}3\\[2pt]2\\[2pt]4\end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix}1\\[2pt]3\\[2pt]6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]2-9\\[2pt]4-18\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]-7\\[2pt]-14\end{pmatrix}.
A matriz após essas operações é
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 6\\[4pt] 0 & -5 & -9\\[4pt] 0 & -7 & -14 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora usamos o elemento -5 (na posição (2,2)) como pivô para zerar o elemento -7 logo abaixo. A operação é
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \frac{7}{5}\text{R}_2,
porque -7 - \tfrac{7}{5}(-5)= -7 +7 =0. Vamos calcular a terceira linha nova componente a componente:
  • Segunda entrada: já vimos que fica 0.
  • Terceira entrada: -14 - \tfrac{7}{5}(-9) = -14 + \tfrac{63}{5}. Escrevendo -14 como -\tfrac{70}{5} temos
-\tfrac{70}{5} + \tfrac{63}{5} = -\tfrac{7}{5}.
Portanto a linha 3 fica \begin{pmatrix}0 & 0 & -\tfrac{7}{5}\end{pmatrix}. A matriz triangular resultante é
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 6\\[4pt] 0 & -5 & -9\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{7}{5} \end{pmatrix}.
Importante: aqui obtivemos pivôs não nulos nas 3 linhas ( 1,\,-5,\,-\tfrac{7}{5}); isso indica que o sistema homogêneo tem posto 3 e deve ter apenas a solução trivial.]

Passo 6

Agora fazemos substituição regressiva para obter a,b,c. A partir da terceira linha temos
-\tfrac{7}{5}\,c = 0 \quad\Rightarrow\quad c=0.
Substituindo c=0 na segunda linha:
-5\,b -9\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad b=0.
Substituindo b=0, c=0 na primeira linha:
a + 3b + 6c = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 0.
Portanto a única solução do sistema homogêneo é a=b=c=0, a solução trivial.

Passo 7

Conclusão lógica e interpretação: como a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, os três vetores não são combinação linear não-trivial entre si. Em outras palavras, eles são linearmente independentes. Vai lá, você conseguiu: com eliminação vimos que a matriz de coeficientes tem posto máximo (3), o que garante independência linear.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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