Sejam \vec{a}=2 \vec{i}+3 \vec{j}, \vec{b}=\vec{i}+\vec{k}, \vec{c}=\vec{j}+2 \vec{k} e \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}.
a) Mostre que \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\} é uma base;
b) Determine x, y e z tais que \vec{v}=x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}.
Passo 1
O enunciado dá as quatro seguintes informações: \vec{a}=2\vec{i}+3\vec{j}, \vec{b}=\vec{i}+\vec{k}, \vec{c}=\vec{j}+2\vec{k} e \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}.
Pede duas coisas:
a) mostrar que o conjunto \{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\} é uma base;
b) determinar números x,y,z tais que \vec{v}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}.
Passo 2
Entendendo o que significa “ser uma base” (mini-aula rápida, sem complicar):
Em \mathbb{R}^3, três vetores formam uma base se, e somente se, eles são linearmente independentes (isso também garante que geram todo \mathbb{R}^3).
Uma forma prática de testar independência dos três vetores é colocar suas coordenadas como colunas (ou linhas) de uma matriz 3\times3 e calcular o determinante dessa matriz: se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Agora vamos aplicar isso aos vetores dados. Primeiro escrevo as coordenadas em componentes padrão: \vec{a}=(2,3,0), \vec{b}=(1,0,1), \vec{c}=(0,1,2).
Passo 3
Formo a matriz A cujas colunas são \vec{a},\vec{b},\vec{c}:
Calculo cada menor: \det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 2\end{pmatrix}=0\cdot2-1\cdot1=-1.
E \det\begin{pmatrix}3 & 1\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix}=3\cdot2-1\cdot0=6.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot(-1)-1\cdot6=-2-6=-8.]
Passo 4
Conclusão da parte (a): como \det(A)=-8\neq 0, os vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} são linearmente independentes e, sendo três vetores em \mathbb{R}^3, formam uma base de \mathbb{R}^3. (Resumo: determinante não nulo \Rightarrow é base.)
Passo 5
Agora parte (b): quero x,y,z tais que \vec{v}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}. Escrevo componente a componente (igualando as componentes em \vec{i},\vec{j},\vec{k}):
Cheque rápido (para garantir que não errei aritmética): calculo as componentes de x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c} com x=\tfrac{1}{4},y=\tfrac{1}{2},z=\tfrac{1}{4}: