Sejam \vec{a}=2 \vec{i}+3 \vec{j}, \vec{b}=\vec{i}+\vec{k}, \vec{c}=\vec{j}+2 \vec{k} e \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}.
a) Mostre que \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\} é uma base;
b) Determine x, y e z tais que \vec{v}=x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}.

Passo 1

O enunciado dá as quatro seguintes informações:
\vec{a}=2\vec{i}+3\vec{j}, \vec{b}=\vec{i}+\vec{k}, \vec{c}=\vec{j}+2\vec{k} e \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}.
Pede duas coisas:
a) mostrar que o conjunto \{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\} é uma base;
b) determinar números x,y,z tais que \vec{v}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}.

Passo 2

Entendendo o que significa “ser uma base” (mini-aula rápida, sem complicar):
  • Em \mathbb{R}^3, três vetores formam uma base se, e somente se, eles são linearmente independentes (isso também garante que geram todo \mathbb{R}^3).
  • Uma forma prática de testar independência dos três vetores é colocar suas coordenadas como colunas (ou linhas) de uma matriz 3\times3 e calcular o determinante dessa matriz: se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
    Agora vamos aplicar isso aos vetores dados. Primeiro escrevo as coordenadas em componentes padrão:
    \vec{a}=(2,3,0), \vec{b}=(1,0,1), \vec{c}=(0,1,2).

Passo 3

Formo a matriz A cujas colunas são \vec{a},\vec{b},\vec{c}:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[2pt] 3 & 0 & 1\\[2pt] 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
Agora calculo o determinante de A. Vou expandir pela primeira linha (fórmula de Laplace pela primeira linha):
\det(A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix} +0\cdot(\text{outro menor}).
Calculo cada menor: \det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 2\end{pmatrix}=0\cdot2-1\cdot1=-1.
E \det\begin{pmatrix}3 & 1\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix}=3\cdot2-1\cdot0=6.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot(-1)-1\cdot6=-2-6=-8.]

Passo 4

Conclusão da parte (a): como \det(A)=-8\neq 0, os vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} são linearmente independentes e, sendo três vetores em \mathbb{R}^3, formam uma base de \mathbb{R}^3. (Resumo: determinante não nulo \Rightarrow é base.)

Passo 5

Agora parte (b): quero x,y,z tais que \vec{v}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}. Escrevo componente a componente (igualando as componentes em \vec{i},\vec{j},\vec{k}):
x(2)+y(1)+z(0)=1,\qquad x(3)+y(0)+z(1)=1,\qquad x(0)+y(1)+z(2)=1.
Ou seja, o sistema linear é
\begin{cases} 2x+y=1,\\[4pt] 3x+z=1,\\[4pt] y+2z=1. \end{cases}]

Passo 6

Vou resolver esse sistema de forma direta por substituição (método simples e eficaz aqui):
Da primeira equação obtenho
y=1-2x.
Da segunda equação obtenho
z=1-3x.
Substituo y e z na terceira equação y+2z=1:
(1-2x)+2(1-3x)=1.
Faço as contas passo a passo:
1-2x+2-6x=1 \quad\Rightarrow\quad 3-8x=1.
Isolando x:
-8x=1-3=-2 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{4}.
Agora volto em y=1-2x:
y=1-2\cdot\tfrac{1}{4}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
E em z=1-3x:
z=1-3\cdot\tfrac{1}{4}=1-\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4}.

Passo 7

Cheque rápido (para garantir que não errei aritmética): calculo as componentes de x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c} com x=\tfrac{1}{4},y=\tfrac{1}{2},z=\tfrac{1}{4}:
  • componente \vec{i}: 2x+y=2\cdot\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
  • componente \vec{j}: 3x+0\cdot y+1\cdot z=3\cdot\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{4}=1. (ou usar y+2z também dá 1)
  • componente \vec{k}: 0\cdot x+y+2z=\tfrac{1}{2}+2\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
    Tudo confere: a combinação dá \vec{v}.

Resposta

(a) Sim, \{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\} é uma base de \mathbb{R}^3 (pois \det(A)=-8\neq0).
(b) \;x=\tfrac{1}{4},\; y=\tfrac{1}{2},\; z=\tfrac{1}{4}.

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