a) Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores quaisquer. Demonstre que
(\vec{u} \pm \vec{v})^{2}=\vec{u}^{2} \pm 2 \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v}^{2}
e
(\vec{u}+\vec{v}) \cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}^{2}-\vec{v}^{2}
b) Use o resultado do item (a) para demonstrar a lei dos co-senos em um triângulo A B C :
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos \hat{A}
onde
\begin{gathered} a=\|\overrightarrow{B C}\|, b=\|\overrightarrow{A C}\|, c=\|\overrightarrow{A B}\| \mathrm{e} \\\ \hat{A}=(A B, A C) \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
  • (a) Demonstrar as duas identidades para vetores quaisquer \vec{u} e \vec{v}:
(\vec{u} \pm \vec{v})^{2}=\vec{u}^{2} \pm 2 \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v}^{2}
(\vec{u}+\vec{v}) \cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}^{2}-\vec{v}^{2}
  • (b) Usar o resultado do item (a) para demonstrar a lei dos co-senos num triângulo A B C:
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos \hat{A}
onde \,a=\|\overrightarrow{B C}\|,\; b=\|\overrightarrow{A C}\|,\; c=\|\overrightarrow{A B}\| e \hat{A}=(A B, A C).
Informações relevantes dadas: as quantidades a,b,c são normas (comprimentos) de vetores do triângulo e \hat{A} é o ângulo entre os segmentos \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}. Nada mais é pedido.

Passo 2

Primeiro, algumas noções que vamos usar (explicadinhas):
  • Notação: quando o enunciado escreve \vec{u}^{2} isso significa o produto escalar de \vec{u} por ele mesmo, ou seja \vec{u}^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}. Então escrever \vec{u}^{2} é o mesmo que falar "o quadrado da norma de \vec{u}".
  • Propriedades do produto escalar (que vamos usar várias vezes):
    1. Linearidade (distributividade): \vec{x}\cdot(\vec{y}+\vec{z})=\vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{x}\cdot\vec{z} e (\vec{x}+\vec{y})\cdot\vec{z}=\vec{x}\cdot\vec{z}+\vec{y}\cdot\vec{z}.
    2. Comutatividade: \vec{x}\cdot\vec{y}=\vec{y}\cdot\vec{x}.
    3. Relação com ângulo: para vetores \vec{x},\vec{y} o produto escalar satisfaz \vec{x}\cdot\vec{y}=\|\vec{x}\|\,\|\vec{y}\| \cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles.
Essas três propriedades bastam para as demonstrações pedidas.

Passo 3

Demonstração da primeira identidade, linha por linha:
Começamos escrevendo o quadrado como produto escalar:
(\vec{u}\pm\vec{v})^{2}=(\vec{u}\pm\vec{v})\cdot(\vec{u}\pm\vec{v}).
Agora aplicamos a distributividade do produto escalar (expandimos como se fosse um produto algébrico, mas lembrando que é escalar):
(\vec{u}\pm\vec{v})\cdot(\vec{u}\pm\vec{v}) = \vec{u}\cdot\vec{u}\\ \pm\\ \vec{u}\cdot\vec{v}\\ \pm\\ \vec{v}\cdot\vec{u}\\\ +\\ \vec{v}\cdot\vec{v}.
Usando a comutatividade \vec{v}\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{v}, as duas parcelas cruzadas somam:
\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot\vec{v}).
Portanto obtemos
(\vec{u}\pm\vec{v})^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u}\\ \pm\\\ 2(\vec{u}\cdot\vec{v})\\\ +\\ \vec{v}\cdot\vec{v}.
Como \vec{u}\cdot\vec{u}=\vec{u}^{2} e \vec{v}\cdot\vec{v}=\vec{v}^{2}, isso é exatamente
(\vec{u}\pm\vec{v})^{2}=\vec{u}^{2}\pm 2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{2},
que era o que queríamos demonstrar.

Passo 4

Explicando por que aparece o sinal \pm: quando expandimos com o sinal + as duas parcelas cruzadas são +\vec{u}\cdot\vec{v} e +\vec{v}\cdot\vec{u}, somando +2\vec{u}\cdot\vec{v}; com o sinal - temos -\vec{u}\cdot\vec{v} e -\vec{v}\cdot\vec{u}, somando -2\vec{u}\cdot\vec{v}. Portanto o \pm se propaga corretamente na identidade.

Passo 5

Demonstração da segunda identidade:
Começamos expandindo o produto escalar:
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) = \vec{u}\cdot\vec{u}\\\ -\\ \vec{u}\cdot\vec{v}\\\ +\\ \vec{v}\cdot\vec{u}\\\ -\\ \vec{v}\cdot\vec{v}.
Agora usamos a comutatividade \vec{v}\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{v}, então as duas parcelas cruzadas são -\vec{u}\cdot\vec{v} e +\vec{u}\cdot\vec{v}, que se cancelam:
-\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{v}=0.
Sobra então
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v}=\vec{u}^{2}-\vec{v}^{2},
que é a identidade pedida.

Passo 6

Agora aplicamos (a) ao triângulo para obter a lei dos co-senos.
Escolhemos o ponto A como origem (isso é só conveniência: podemos colocar um sistema de coordenadas com A na origem). Definimos os vetores
\vec{c}=\overrightarrow{A B},\qquad \vec{b}=\overrightarrow{A C}.
Essas definições são compatíveis com as normas dadas: \|\vec{c}\|=c e \|\vec{b}\|=b.
O vetor \overrightarrow{B C} é a diferença entre \overrightarrow{A C} e \overrightarrow{A B}, logo
\overrightarrow{B C}=\vec{b}-\vec{c}.
Pelo enunciado, a=\|\overrightarrow{B C}\|. Portanto
a^{2}=\|\overrightarrow{B C}\|^{2}=(\vec{b}-\vec{c})^{2}.

Passo 7

Usamos a identidade do Passo 3 (caso com o sinal menos):
(\vec{b}-\vec{c})^{2}=\vec{b}^{2}-2\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}^{2}.
Substituindo \vec{b}^{2}=b^{2} e \vec{c}^{2}=c^{2} obtemos
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\vec{b}\cdot\vec{c}.
Agora usamos a relação entre produto escalar e ângulo: se \hat{A} é o ângulo entre \vec{c}=\overrightarrow{A B} e \vec{b}=\overrightarrow{A C}, então
\vec{b}\cdot\vec{c}=\|\vec{b}\|\,\|\vec{c}\| \cos\hat{A}=b c \cos\hat{A}.
Substituindo isso na expressão anterior dá exatamente a lei dos co-senos:
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos \hat{A}.

Resposta

(\vec{u}\pm\vec{v})^{2}=\vec{u}^{2}\pm 2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{2}
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}^{2}-\vec{v}^{2}
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos \hat{A}

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