(b) Usar o resultado do item (a) para demonstrar a lei dos co-senos num triângulo A B C:
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos \hat{A}
onde \,a=\|\overrightarrow{B C}\|,\; b=\|\overrightarrow{A C}\|,\; c=\|\overrightarrow{A B}\| e \hat{A}=(A B, A C).
Informações relevantes dadas: as quantidades a,b,c são normas (comprimentos) de vetores do triângulo e \hat{A} é o ângulo entre os segmentos \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}. Nada mais é pedido.
Passo 2
Primeiro, algumas noções que vamos usar (explicadinhas):
Notação: quando o enunciado escreve \vec{u}^{2} isso significa o produto escalar de \vec{u} por ele mesmo, ou seja \vec{u}^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}. Então escrever \vec{u}^{2} é o mesmo que falar "o quadrado da norma de \vec{u}".
Propriedades do produto escalar (que vamos usar várias vezes):
Linearidade (distributividade): \vec{x}\cdot(\vec{y}+\vec{z})=\vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{x}\cdot\vec{z} e (\vec{x}+\vec{y})\cdot\vec{z}=\vec{x}\cdot\vec{z}+\vec{y}\cdot\vec{z}.
Relação com ângulo: para vetores \vec{x},\vec{y} o produto escalar satisfaz \vec{x}\cdot\vec{y}=\|\vec{x}\|\,\|\vec{y}\| \cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles.
Essas três propriedades bastam para as demonstrações pedidas.
Passo 3
Demonstração da primeira identidade, linha por linha:
Começamos escrevendo o quadrado como produto escalar:
Explicando por que aparece o sinal \pm: quando expandimos com o sinal + as duas parcelas cruzadas são +\vec{u}\cdot\vec{v} e +\vec{v}\cdot\vec{u}, somando +2\vec{u}\cdot\vec{v}; com o sinal - temos -\vec{u}\cdot\vec{v} e -\vec{v}\cdot\vec{u}, somando -2\vec{u}\cdot\vec{v}. Portanto o \pm se propaga corretamente na identidade.
Agora usamos a comutatividade \vec{v}\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{v}, então as duas parcelas cruzadas são -\vec{u}\cdot\vec{v} e +\vec{u}\cdot\vec{v}, que se cancelam: