Verifique se os seguintes vetores são linearmente independentes: 2 \vec{i}+\vec{j}-\vec{k}, 2 \vec{i}+3 \vec{j}-2 \vec{k}, \vec{i}+2 \vec{j}+\vec{k}
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se os três vetores dados são linearmente independentes (ou seja, decidir se existe apenas a combinação linear trivial que os anula).
Como vou resolver (e por quê): uma forma direta e prática para três vetores em \mathbb{R}^3 é montar a matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores e calcular o determinante. Resultado chave que vou usar: se a matriz 3x3 formada por três vetores tem determinante diferente de zero, então os vetores são linearmente independentes; se o determinante for zero, são linearmente dependentes. Escolhi esse método porque é rápido e exige apenas contas básicas de determinante (sem sistemas de equações longos).
Passo 3
Escrevendo a matriz A com os vetores como colunas:
Breve explicação do porquê do determinante: os vetores são linearmente independentes se a única solução do sistema
c_1(2,1,-1)+c_2(2,3,-2)+c_3(1,2,1)=(0,0,0)
for c_1=c_2=c_3=0. Isso é equivalente a dizer que a matriz A é invertível. Em \mathbb{R}^3, a matriz é invertível exatamente quando \det(A)\neq 0. Portanto calcular \det(A) resolve a questão.]
Passo 4
Calculemos \det(A) usando a fórmula de Laplace na primeira linha (fórmula padrão para 3×3):
Conclusão das contas e interpretação: obtivemos \det(A)=9. Como \;9\neq 0, a matriz A é invertível, logo a única combinação linear que anula os vetores é a combinação trivial c_1=c_2=c_3=0. Portanto os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Sim. Os vetores são linearmente independentes, pois \det(A)=9\neq 0.