Verifique se os seguintes vetores são linearmente independentes:
2 \vec{i}+\vec{j}-\vec{k}, 2 \vec{i}+3 \vec{j}-2 \vec{k}, \vec{i}+2 \vec{j}+\vec{k}

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se os três vetores dados são linearmente independentes (ou seja, decidir se existe apenas a combinação linear trivial que os anula).
Informações fornecidas (componentes dos vetores):
\;2\vec{i}+\vec{j}-\vec{k} = (2,1,-1)
\;2\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k} = (2,3,-2)
\;\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k} = (1,2,1)

Passo 2

Como vou resolver (e por quê): uma forma direta e prática para três vetores em \mathbb{R}^3 é montar a matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores e calcular o determinante. Resultado chave que vou usar: se a matriz 3x3 formada por três vetores tem determinante diferente de zero, então os vetores são linearmente independentes; se o determinante for zero, são linearmente dependentes. Escolhi esse método porque é rápido e exige apenas contas básicas de determinante (sem sistemas de equações longos).

Passo 3

Escrevendo a matriz A com os vetores como colunas:
A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 2\\[4pt] -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}
Breve explicação do porquê do determinante: os vetores são linearmente independentes se a única solução do sistema
c_1(2,1,-1)+c_2(2,3,-2)+c_3(1,2,1)=(0,0,0)
for c_1=c_2=c_3=0. Isso é equivalente a dizer que a matriz A é invertível. Em \mathbb{R}^3, a matriz é invertível exatamente quando \det(A)\neq 0. Portanto calcular \det(A) resolve a questão.]

Passo 4

Calculemos \det(A) usando a fórmula de Laplace na primeira linha (fórmula padrão para 3×3):
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})
Substituindo a_{11}=2, a_{12}=2, a_{13}=1, a_{21}=1, a_{22}=3, a_{23}=2, a_{31}=-1, a_{32}=-2, a_{33}=1:
Calcule cada cofator:
a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}=3\cdot1-2\cdot(-2)=3+4=7
a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}=1\cdot1-2\cdot(-1)=1+2=3
a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}=1\cdot(-2)-3\cdot(-1)=-2+3=1
Agora:
\det(A)=2\cdot 7 - 2\cdot 3 + 1\cdot 1 = 14 - 6 + 1 = 9

Passo 5

Conclusão das contas e interpretação: obtivemos \det(A)=9. Como \;9\neq 0, a matriz A é invertível, logo a única combinação linear que anula os vetores é a combinação trivial c_1=c_2=c_3=0. Portanto os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Sim. Os vetores são linearmente independentes, pois \det(A)=9\neq 0.

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