CALCULE OS SEGUINTES PRODUTOS
\left[\begin{array}{rrr}1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 4 & 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ 2 & 3 \\\\ -3 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto das duas matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 5 & 2 \\[4pt] -1 & 4 & 7\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad B=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 2 & 3 \\[4pt] -3 & 0\end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • A tem dimensão 2\times3 (2 linhas e 3 colunas).
  • B tem dimensão 3\times2 (3 linhas e 2 colunas).
    O que se pede: calcular A B.]

Passo 2

Vamos lembrar a regra de multiplicação de matrizes (a “aula rápida” que sempre salva na prova).
Definição: se A é m\times n e B é n\times p, então o produto C=AB existe e é uma matriz m\times p. O elemento (i,j) de C é dado pelo produto escalar (ou soma dos produtos) da linha i de A com a coluna j de B:
\text{(C)}_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj}.
Explicando em palavras: para achar cada entrada de C pego a linha correspondente de A, multiplico termo a termo pelos elementos da coluna correspondente de B e somo tudo — é um somatório de produtos.

Passo 3

Verificação de compatibilidade (pra não perder tempo na prova): A é 2\times3 e B é 3\times2. Como o número de colunas de A ( 3) é igual ao número de linhas de B ( 3), o produto existe. O resultado C=AB terá dimensão 2\times2.
Vamos denotar
C=AB=\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} \\[4pt] c_{21} & c_{22}\end{pmatrix},
onde cada c_{ij} será calculado pelo somatório da regra do passo anterior com n=3.]

Passo 4

Calcular c_{11} (primeira linha de A com primeira coluna de B):
A primeira linha de A é \bigl(1,\;5,\;2\bigr).
A primeira coluna de B é \bigl(1,\;2,\;-3\bigr)^{\mathsf{T}}.
Aplicando a fórmula
c_{11}=1\cdot 1 + 5\cdot 2 + 2\cdot(-3).
Agora as contas passo a passo:
1\cdot 1 = 1,\qquad 5\cdot 2 = 10,\qquad 2\cdot(-3) = -6.
Somando:
c_{11}=1+10-6=5.

Passo 5

Calcular c_{12} (primeira linha de A com segunda coluna de B):
A primeira linha de A é \bigl(1,\;5,\;2\bigr).
A segunda coluna de B é \bigl(-1,\;3,\;0\bigr)^{\mathsf{T}}.
Aplicando a fórmula
c_{12}=1\cdot(-1) + 5\cdot 3 + 2\cdot 0.
Contas:
1\cdot(-1) = -1,\qquad 5\cdot 3 = 15,\qquad 2\cdot 0 = 0.
Somando:
c_{12}=-1+15+0=14.

Passo 6

Calcular c_{21} (segunda linha de A com primeira coluna de B):
A segunda linha de A é \bigl(-1,\;4,\;7\bigr).
A primeira coluna de B é \bigl(1,\;2,\;-3\bigr)^{\mathsf{T}}.
Aplicando a fórmula
c_{21}=(-1)\cdot 1 + 4\cdot 2 + 7\cdot(-3).
Contas:
(-1)\cdot 1 = -1,\qquad 4\cdot 2 = 8,\qquad 7\cdot(-3) = -21.
Somando:
c_{21}=-1+8-21=-14.

Passo 7

Calcular c_{22} (segunda linha de A com segunda coluna de B):
A segunda linha de A é \bigl(-1,\;4,\;7\bigr).
A segunda coluna de B é \bigl(-1,\;3,\;0\bigr)^{\mathsf{T}}.
Aplicando a fórmula
c_{22}=(-1)\cdot(-1) + 4\cdot 3 + 7\cdot 0.
Contas:
(-1)\cdot(-1)=1,\qquad 4\cdot 3=12,\qquad 7\cdot 0=0.
Somando:
c_{22}=1+12+0=13.

Passo 8

Agora montamos a matriz resultado com os elementos calculados:
C=AB=\begin{pmatrix}5 & 14 \\[4pt] -14 & 13\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}5 & 14 \\[4pt] -14 & 13\end{pmatrix}]

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