Calcule as seguintes somas e diferenças:
(\vec{i}+2 \vec{j}-3 \vec{k})+(2 \vec{i}-\vec{j}+5 \vec{k})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma das duas expressões vetoriais
\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k} e 2\vec{i}-\vec{j}+5\vec{k}.
Informações dadas:
  • Primeiro vetor: \vec{a} = \vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}.
  • Segundo vetor: \vec{b} = 2\vec{i}-\vec{j}+5\vec{k}.
    A pergunta é: qual é \vec{a}+\vec{b}?

Passo 2

Regra de adição de vetores (explicação didática): para somar dois vetores expressos na base \{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\} somamos componente a componente. Se
\vec{a} = a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k} e \vec{b}=b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{k},
então
\vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x)\vec{i}+(a_y+b_y)\vec{j}+(a_z+b_z)\vec{k}.
Aqui a_x,a_y,a_z são as componentes do vetor \vec{a} nas direções \vec{i},\vec{j},\vec{k}, respectivamente; b_x,b_y,b_z são as componentes de \vec{b}. Essa regra é simples: somar números que estão multiplicando a mesma direção.

Passo 3

Identificar as componentes do primeiro vetor \vec{a}=\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}:
  • a_x = 1 porque o coeficiente de \vec{i} é 1.
  • a_y = 2 porque o coeficiente de \vec{j} é 2.
  • a_z = -3 porque o coeficiente de \vec{k} é -3.

Passo 4

Identificar as componentes do segundo vetor \vec{b}=2\vec{i}-\vec{j}+5\vec{k}:
  • b_x = 2 porque o coeficiente de \vec{i} é 2.
  • b_y = -1 porque o coeficiente de \vec{j} é -1.
  • b_z = 5 porque o coeficiente de \vec{k} é 5.

Passo 5

Somar as componentes correspondentes, seguindo a fórmula do Passo 2:
  • Componente em \vec{i}: a_x + b_x = 1 + 2 = 3.
  • Componente em \vec{j}: a_y + b_y = 2 + (-1) = 1.
  • Componente em \vec{k}: a_z + b_z = -3 + 5 = 2.

Passo 6

Montar o vetor resultado com as componentes calculadas:
\vec{a}+\vec{b} = 3\vec{i}+1\vec{j}+2\vec{k}.
Como o coeficiente 1 costuma ser escrito apenas como (sem número), simplificamos para
\vec{a}+\vec{b} = 3\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}.

Resposta

3\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}

Exercícios relacionados