Demonstre que, se \vec{a} e \vec{b} são vetores quaisquer, então:
a) |\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq||\vec{a}||| | \vec{b}| | (desigualdade de Schwarz);
b) \|\vec{a}+\vec{b}\| \leq\|\vec{a}\|+\|\vec{b}\| (desigualdade triangular);
Sugestão: Desenvolva (\vec{a}+\vec{b})^{2} e utilize a desigualdade de Schwarz.
c) \mid\|\vec{a}\|-\|\vec{b}\| \leq\|\vec{a}-\vec{b}\|.
(A desigualdade de Schwarz tem muitas aplicações em matemática. A desigualdade triangular corresponde ao seguinte fato geométrico: o comprimento de um dos lados de um triângulo é menor que ou igual à soma dos comprimentos dos outros dois lados.)
Passo 1
O enunciado dá dois vetores quaisquer \vec{a} e \vec{b} e pede para demonstrar três desigualdades:
(a) \left|\vec{a}\cdot\vec{b}\right|\le \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\| (desigualdade de Schwarz);
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas): \vec{a} e \vec{b} são vetores em um espaço euclidiano com produto interno padrão (produto escalar). Definições que vamos usar: \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar entre \vec{a} e \vec{b}; \|\vec{v}\|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}} é a norma (comprimento) de um vetor \vec{v}.
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Primeiro, vou explicar e usar uma ideia-chave muito útil: para qualquer vetor \vec{v} vale \|\vec{v}\|^{2}=\vec{v}\cdot\vec{v}\ge 0. Em particular, para qualquer escalar real t temos a quantidade \|\vec{a}-t\vec{b}\|^{2} não negativa:
\|\vec{a}-t\vec{b}\|^{2}=(\vec{a}-t\vec{b})\cdot(\vec{a}-t\vec{b})\ge 0\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Essa observação transforma a prova da desigualdade de Schwarz num problema sobre um polinômio quadrático em t. Vou desenvolver esse quadrático no passo seguinte.
Passo 3
Faço a expansão explícita de \|\vec{a}-t\vec{b}\|^{2}. Usando distributividade do produto escalar:
Agora uso uma propriedade elementar de quadráticas: um polinômio quadrático At^{2}+Bt+C com A>0 é não negativo para todo t se, e somente se, o discriminante satisfaz \Delta=B^{2}-4AC\le 0. No nosso caso: