Demonstre que, se \vec{a} e \vec{b} são vetores quaisquer, então:
a) |\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq||\vec{a}||| | \vec{b}| | (desigualdade de Schwarz);
b) \|\vec{a}+\vec{b}\| \leq\|\vec{a}\|+\|\vec{b}\| (desigualdade triangular);
Sugestão: Desenvolva (\vec{a}+\vec{b})^{2} e utilize a desigualdade de Schwarz.
c) \mid\|\vec{a}\|-\|\vec{b}\| \leq\|\vec{a}-\vec{b}\|.
(A desigualdade de Schwarz tem muitas aplicações em matemática. A desigualdade triangular corresponde ao seguinte fato geométrico: o comprimento de um dos lados de um triângulo é menor que ou igual à soma dos comprimentos dos outros dois lados.)

Passo 1

O enunciado dá dois vetores quaisquer \vec{a} e \vec{b} e pede para demonstrar três desigualdades:
  • (a) \left|\vec{a}\cdot\vec{b}\right|\le \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\| (desigualdade de Schwarz);
  • (b) \|\vec{a}+\vec{b}\|\le \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\| (desigualdade triangular);
  • (c) \left|\|\vec{a}\|-\|\vec{b}\|\right|\le \|\vec{a}-\vec{b}\|.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas): \vec{a} e \vec{b} são vetores em um espaço euclidiano com produto interno padrão (produto escalar). Definições que vamos usar:
\vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar entre \vec{a} e \vec{b}; \|\vec{v}\|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}} é a norma (comprimento) de um vetor \vec{v}.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Primeiro, vou explicar e usar uma ideia-chave muito útil: para qualquer vetor \vec{v} vale \|\vec{v}\|^{2}=\vec{v}\cdot\vec{v}\ge 0. Em particular, para qualquer escalar real t temos a quantidade \|\vec{a}-t\vec{b}\|^{2} não negativa:
\|\vec{a}-t\vec{b}\|^{2}=(\vec{a}-t\vec{b})\cdot(\vec{a}-t\vec{b})\ge 0\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Essa observação transforma a prova da desigualdade de Schwarz num problema sobre um polinômio quadrático em t. Vou desenvolver esse quadrático no passo seguinte.

Passo 3

Faço a expansão explícita de \|\vec{a}-t\vec{b}\|^{2}. Usando distributividade do produto escalar:
\begin{aligned} \|\vec{a}-t\vec{b}\|^{2} &=(\vec{a}-t\vec{b})\cdot(\vec{a}-t\vec{b}) \\\ &=\vec{a}\cdot\vec{a}-t(\vec{a}\cdot\vec{b})-t(\vec{b}\cdot\vec{a})+t^{2}\vec{b}\cdot\vec{b}. \end{aligned}
Como o produto escalar é comutativo \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}, isso simplifica para
\|\vec{a}-t\vec{b}\|^{2}=\|\vec{a}\|^{2}-2t(\vec{a}\cdot\vec{b})+t^{2}\|\vec{b}\|^{2}.
Chamo essa expressão de f(t):
f(t)=\|\vec{b}\|^{2}t^{2}-2(\vec{a}\cdot\vec{b})t+\|\vec{a}\|^{2}.
Sabemos que f(t)\ge 0 para todo t.

Passo 4

Agora uso uma propriedade elementar de quadráticas: um polinômio quadrático At^{2}+Bt+C com A>0 é não negativo para todo t se, e somente se, o discriminante satisfaz \Delta=B^{2}-4AC\le 0. No nosso caso:
A=\|\vec{b}\|^{2},\quad B=-2(\vec{a}\cdot\vec{b}),\quad C=\|\vec{a}\|^{2}.
Calculo o discriminante:
\begin{aligned} \Delta &= B^{2}-4AC \\\ &=\big(-2(\vec{a}\cdot\vec{b})\big)^{2}-4\|\vec{b}\|^{2}\|\vec{a}\|^{2} \\\ &=4(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2}-4\|\vec{a}\|^{2}\|\vec{b}\|^{2}. \end{aligned}
Como f(t)\ge 0 para todo t, precisamos ter \Delta\le 0. Assim
4(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2}-4\|\vec{a}\|^{2}\|\vec{b}\|^{2}\le 0.
Dividindo por 4 e reorganizando vem
(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2}\le \|\vec{a}\|^{2}\|\vec{b}\|^{2}.
Tomando raiz quadrada dos dois lados (ambos não negativos) obtemos a desigualdade de Schwarz:
\left|\vec{a}\cdot\vec{b}\right|\le \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|.
Pronto: demonstrada a parte (a). Vou usar essa desigualdade para provar a parte (b).

Passo 5

Para a desigualdade triangular, começo calculando o quadrado da norma da soma:
\begin{aligned} \|\vec{a}+\vec{b}\|^{2} &=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) \\\ &=\|\vec{a}\|^{2}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\|\vec{b}\|^{2}. \end{aligned}
Agora uso a desigualdade de Schwarz para limitar o termo misto:
2\vec{a}\cdot\vec{b}\le 2\left|\vec{a}\cdot\vec{b}\right|\le 2\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|.
Substituindo isso na expressão de \|\vec{a}+\vec{b}\|^{2} obtenho
\|\vec{a}+\vec{b}\|^{2}\le \|\vec{a}\|^{2}+2\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|+\|\vec{b}\|^{2} =\big(\|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|\big)^{2}.
Como ambos os lados são não negativos, posso tirar raiz quadrada e obter
\|\vec{a}+\vec{b}\|\le \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|.
Isso termina a demonstração da parte (b). Agora vou à parte (c).

Passo 6

Para provar (c) uso a desigualdade triangular de forma esperta. Observe que
\|\vec{a}\|=\|\;(\vec{a}-\vec{b})+\vec{b}\;\|\le \|\vec{a}-\vec{b}\|+\|\vec{b}\|,
pelo que
\|\vec{a}\|-\|\vec{b}\|\le \|\vec{a}-\vec{b}\|.
Trocando o papel de \vec{a} e \vec{b} obtemos
\|\vec{b}\|-\|\vec{a}\|\le \|\vec{b}-\vec{a}\|=\|\vec{a}-\vec{b}\|.
As duas desigualdades juntas implicam que a diferença \|\vec{a}\|-\|\vec{b}\| está entre -\|\vec{a}-\vec{b}\| e \|\vec{a}-\vec{b}\|, isto é
-\|\vec{a}-\vec{b}\|\le \|\vec{a}\|-\|\vec{b}\|\le \|\vec{a}-\vec{b}\|.
Isso é equivalente à desigualdade com valor absoluto:
\left|\|\vec{a}\|-\|\vec{b}\|\right|\le \|\vec{a}-\vec{b}\|.
Assim (c) também está demonstrada.

Resposta

\left|\vec{a}\cdot\vec{b}\right|\le \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|
\|\vec{a}+\vec{b}\|\le \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|
\left|\|\vec{a}\|-\|\vec{b}\|\right|\le \|\vec{a}-\vec{b}\|

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