1. Mostre os seus cálculos ao resolver o sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+3 z=2600 \\\\ 2 x+3 y+z=3400 \\\\ 3 x+2 y+z=3900 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três equações e três incógnitas e pede para resolver mostrando os cálculos:
\left\{\begin{array}{l} x+2y+3z=2600\\[4pt] 2x+3y+z=3400\\[4pt] 3x+2y+z=3900 \end{array}\right.
Informações relevantes que temos:
  • Três equações lineares envolvendo as incógnitas \,x,\;y,\;z.
  • Os termos constantes são \,2600,\;3400,\;3900.
  • A tarefa é encontrar os valores numéricos de \,x,\;y,\;z que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Vou usar eliminação entre equações (método direto de eliminar incógnitas por combinações lineares). Primeiro explico a ideia de forma bem simples e prática:
  • Podemos multiplicar uma equação por um número e somá-la ou subtraí-la de outra sem alterar o conjunto de soluções. Essas são as chamadas operações elementares por linhas.
  • O objetivo é eliminar uma incógnita de duas das equações para obter um sistema de duas equações em duas incógnitas, resolver esse sistema e então voltar para obter a terceira incógnita.
    Agora aplico isso ao sistema dado.

Passo 3

Eliminar x das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Multiplico a equação 1 por 2 e subtraio a equação 2:
2\cdot(x+2y+3z)=2\cdot2600 \quad\Rightarrow\quad 2x+4y+6z=5200
Agora subtraio a equação 2 ( 2x+3y+z=3400):
(2x+4y+6z)-(2x+3y+z)=5200-3400
Isso dá:
y+5z=1800.
Multiplico a equação 1 por 3 e subtraio a equação 3:
3\cdot(x+2y+3z)=3\cdot2600 \quad\Rightarrow\quad 3x+6y+9z=7800
Agora subtraio a equação 3 ( 3x+2y+z=3900):
(3x+6y+9z)-(3x+2y+z)=7800-3900
Isso dá:
4y+8z=3900.
Agora temos o sistema reduzido (duas equações em y e z):
\begin{cases} y+5z=1800\\[4pt] 4y+8z=3900 \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema reduzido por eliminação ou substituição. Vou eliminar y.
Multiplico a primeira equação por 4:
4(y+5z)=4\cdot1800 \quad\Rightarrow\quad 4y+20z=7200.
Subtraio a segunda equação 4y+8z=3900 de 4y+20z=7200:
(4y+20z)-(4y+8z)=7200-3900
Isso resulta em:
12z=3300.
Dividindo ambos os lados por 12:
z=\dfrac{3300}{12}=\dfrac{1100}{4}=275.

Passo 5

Com z=275, volto à equação y+5z=1800 para encontrar y:
y+5\cdot 275=1800.
Calculo 5\cdot275=1375, então
y=1800-1375=425.

Passo 6

Com y=425 e z=275, volto à primeira equação x+2y+3z=2600 para encontrar x:
x+2\cdot425+3\cdot275=2600.
Calculo 2\cdot425=850 e 3\cdot275=825. A soma é 850+825=1675. Assim
x=2600-1675=925.

Passo 7

Verificação rápida: substituir (x,y,z)=(925,425,275) nas três equações originais para checar consistência.
Equação 1:
925+2\cdot425+3\cdot275=925+850+825=2600.
Equação 2:
2\cdot925+3\cdot425+1\cdot275=1850+1275+275=3400.
Equação 3:
3\cdot925+2\cdot425+1\cdot275=2775+850+275=3900.
Todas batem com os termos à direita, portanto a solução está correta.

Resposta

x=925
y=425
z=275

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