Desenhe o gráfico da função f(x)=\frac{1}{x}, indique o seu domínio de definição e analise se ela possui pontos de máximo e/ou de mínimo.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=\dfrac{1}{x} e pede três coisas:
  • Desenhar o gráfico de f.
  • Indicar o domínio de definição de f.
  • Analisar se f possui pontos de máximo e/ou de mínimo.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A expressão algébrica é f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • A única possível restrição óbvia vem do denominador x: não podemos dividir por 0.

Passo 2

Determinar o domínio.
Explicação curta e didática: o domínio de uma função são todos os valores de x que podemos colocar na fórmula sem cometer uma operação proibida (como dividir por zero). Aqui o problema é exatamente o denominador x. Logo não podemos ter x=0.
Portanto o domínio é
\mathcal{D} = (-\infty,0)\cup(0,\infty).

Passo 3

Assíntotas e comportamento nos extremos — por que isso importa para o desenho.
Conceito rápido: uma assíntota vertical é uma reta x=a onde a função cresce sem limite quando x se aproxima de a; uma assíntota horizontal é uma reta y=b que a função se aproxima quando |x|\to\infty.
Calcular limites para identificar assíntotas:
  • Quando x\to0^+ temos \dfrac{1}{x}\to+\infty.
  • Quando x\to0^- temos \dfrac{1}{x}\to-\infty.
Esses dois resultados mostram que existe uma assíntota vertical em x=0.
  • Quando x\to+\infty temos \dfrac{1}{x}\to0^+.
  • Quando x\to-\infty temos \dfrac{1}{x}\to0^-.
Esses dois resultados mostram que existe uma assíntota horizontal em y=0.
Resumo: assíntotas são x=0 (vertical) e y=0 (horizontal).

Passo 4

Alguns pontos-chave para esboçar o gráfico (escolha de pontos simples).
Calculemos valores fáceis que ajudam a posicionar as curvas:
  • f(1)=\dfrac{1}{1}=1.
  • f(2)=\dfrac{1}{2}=0,5.
  • f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=2.
  • f(-1)=\dfrac{1}{-1}=-1.
  • f(-2)=\dfrac{1}{-2}=-0,5.
Esses pontos mostram que para x>0 a curva está no primeiro quadrante decaindo de +\infty (perto de x=0^+) para 0^+ (quando x\to+\infty). Para x<0 a curva está no terceiro quadrante indo de 0^- (quando x\to-\infty) para -\infty (perto de x=0^-).

Passo 5

Como desenhar na prática (instruções passo a passo):
  1. Trace os eixos x e y.
  2. Desenhe linhas pontilhadas em x=0 e y=0 para representar as assíntotas.
  3. No eixo dos x marque x=1, x=2, x=\tfrac{1}{2} e plote os pontos (1,1), (2,\tfrac{1}{2}), (\tfrac{1}{2},2). Ligue-os formando uma curva suave que se aproxima de y=0 quando x cresce e sobe para +\infty quando x se aproxima de 0^+.
  4. Faça o mesmo no lado negativo: marque (-1,-1), (-2,-\tfrac{1}{2}) e desenhe a curva suave que tende a 0^- quando x\to-\infty e a -\infty quando x\to0^-.
    O resultado é a hipérbole com duas “ramificações”: uma no primeiro quadrante e outra no terceiro quadrante.

Passo 6

Continuidade e derivada — monotonicidade.
Conceito: a derivada f'(x) dá a inclinação instantânea da curva; se f'(x)>0 a função está subindo ali, se f'(x)<0 está descendo.
Calculemos f'(x). Usando regra do poder para f(x)=x^{-1} obtemos
f'(x) = -\,\frac{1}{x^{2}}.
Observação: para todo x\in\mathcal{D} temos x^{2}>0, então f'(x)<0 para todo x do domínio. Isso significa que:
  • f é estritamente decrescente em (0,\infty).
  • f é estritamente decrescente em (-\infty,0).

Passo 7

Concavidade (forma da curva) — usando a segunda derivada.
Conceito: a segunda derivada f''(x) indica concavidade. Se f''(x)>0 a curva é côncava para cima; se f''(x)<0 é côncava para baixo.
Calculemos
f''(x)=\frac{2}{x^{3}}.
  • Para x>0 temos f''(x)>0: curva côncava para cima em (0,\infty).
  • Para x<0 temos f''(x)<0: curva côncava para baixo em (-\infty,0).
Esse fato explica a “curvatura” distinta das duas ramificações.

Passo 8

Análise de máximos e mínimos (definição e aplicação).
Definição curta: um ponto x_0 é ponto de máximo local se há vizinhança onde f(x_0) é maior que os outros valores; mínimo local é análogo. Uma condição comum é f'(x_0)=0 (ou derivada não definida) e mudança de sinal da derivada.
Aqui:
  • Não existe x_0 no domínio com f'(x_0)=0, porque f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}} nunca é zero.
  • Os únicos pontos onde a derivada é não definida seriam x=0, mas x=0 não pertence ao domínio.
  • Além disso, em cada intervalo da definição a função é estritamente decrescente, então não há pontos onde a função “mude de subir para descer” (ou vice-versa).
Conclusão: f não possui máximos nem mínimos, nem locais nem globais (podemos falar em ínfimos/supremos: em (0,\infty) o ínfimo é 0 não atingido; em (-\infty,0) o supremo é 0 não atingido).

Passo 9

Propriedades finais úteis (resumo rápido e ponto de simetria).
  • A função é ímpar: f(-x)=-f(x). Isso explica a simetria central do gráfico em relação à origem.
  • f é contínua em cada intervalo (-\infty,0) e (0,\infty), mas não contínua em x=0 porque 0 não pertence ao domínio.

Resposta

Gráfico: hipérbole com duas ramificações, uma no primeiro quadrante (para x>0) que tende a +\infty quando x\to0^+ e a 0^+ quando x\to+\infty, e outra no terceiro quadrante (para x<0) que tende a -\infty quando x\to0^- e a 0^- quando x\to-\infty; assíntotas x=0 e y=0.
Domínio: \mathcal{D}=(-\infty,0)\cup(0,\infty).
Máximos / mínimos: não possui pontos de máximo nem de mínimo (nem locais nem globais).

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