Desenhe o gráfico da função
, indique o seu domínio de definição e analise se ela possui pontos de máximo e/ou de mínimo.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede três coisas:
- Desenhar o gráfico de
. - Indicar o domínio de definição de
. - Analisar se
possui pontos de máximo e/ou de mínimo.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A expressão algébrica é
. - A única possível restrição óbvia vem do denominador
: não podemos dividir por .
Passo 2
Determinar o domínio.
Explicação curta e didática: o domínio de uma função são todos os valores de que podemos colocar na fórmula sem cometer uma operação proibida (como dividir por zero). Aqui o problema é exatamente o denominador
. Logo não podemos ter
.
Explicação curta e didática: o domínio de uma função são todos os valores de
Portanto o domínio é
Passo 3
Assíntotas e comportamento nos extremos — por que isso importa para o desenho.
Conceito rápido: uma assíntota vertical é uma reta onde a função cresce sem limite quando
se aproxima de
; uma assíntota horizontal é uma reta
que a função se aproxima quando
.
Conceito rápido: uma assíntota vertical é uma reta
Calcular limites para identificar assíntotas:
- Quando
temos . - Quando
temos .
Esses dois resultados mostram que existe uma assíntota vertical em
.
- Quando
temos . - Quando
temos .
Esses dois resultados mostram que existe uma assíntota horizontal em
.
Resumo: assíntotas são
(vertical) e
(horizontal).
Passo 4
Alguns pontos-chave para esboçar o gráfico (escolha de pontos simples).
Calculemos valores fáceis que ajudam a posicionar as curvas:
Calculemos valores fáceis que ajudam a posicionar as curvas:
-
. -
. -
. -
. -
.
Esses pontos mostram que para
a curva está no primeiro quadrante decaindo de
(perto de
) para
(quando
). Para
a curva está no terceiro quadrante indo de
(quando
) para
(perto de
).
Passo 5
Como desenhar na prática (instruções passo a passo):
- Trace os eixos
e . - Desenhe linhas pontilhadas em
e para representar as assíntotas. - No eixo dos
marque , , e plote os pontos , , . Ligue-os formando uma curva suave que se aproxima de quando cresce e sobe para quando se aproxima de . - Faça o mesmo no lado negativo: marque
, e desenhe a curva suave que tende a quando e a quando .
O resultado é a hipérbole com duas “ramificações”: uma no primeiro quadrante e outra no terceiro quadrante.
Passo 6
Continuidade e derivada — monotonicidade.
Conceito: a derivada dá a inclinação instantânea da curva; se
a função está subindo ali, se
está descendo.
Conceito: a derivada
Calculemos
. Usando regra do poder para
obtemos
Observação: para todo
temos
, então
para todo
do domínio. Isso significa que:
-
é estritamente decrescente em . -
é estritamente decrescente em .
Passo 7
Concavidade (forma da curva) — usando a segunda derivada.
Conceito: a segunda derivada indica concavidade. Se
a curva é côncava para cima; se
é côncava para baixo.
Conceito: a segunda derivada
Calculemos
- Para
temos : curva côncava para cima em . - Para
temos : curva côncava para baixo em .
Esse fato explica a “curvatura” distinta das duas ramificações.
Passo 8
Análise de máximos e mínimos (definição e aplicação).
Definição curta: um ponto é ponto de máximo local se há vizinhança onde
é maior que os outros valores; mínimo local é análogo. Uma condição comum é
(ou derivada não definida) e mudança de sinal da derivada.
Definição curta: um ponto
Aqui:
- Não existe
no domínio com , porque nunca é zero. - Os únicos pontos onde a derivada é não definida seriam
, mas não pertence ao domínio. - Além disso, em cada intervalo da definição a função é estritamente decrescente, então não há pontos onde a função “mude de subir para descer” (ou vice-versa).
Conclusão:
não possui máximos nem mínimos, nem locais nem globais (podemos falar em ínfimos/supremos: em
o ínfimo é
não atingido; em
o supremo é
não atingido).
Passo 9
Propriedades finais úteis (resumo rápido e ponto de simetria).
- A função é ímpar:
. Isso explica a simetria central do gráfico em relação à origem. -
é contínua em cada intervalo e , mas não contínua em porque não pertence ao domínio.
Resposta
Gráfico: hipérbole com duas ramificações, uma no primeiro quadrante (para
) que tende a
quando
e a
quando
, e outra no terceiro quadrante (para
) que tende a
quando
e a
quando
; assíntotas
e
.
Domínio: .
Máximos / mínimos: não possui pontos de máximo nem de mínimo (nem locais nem globais).
Domínio:
Máximos / mínimos: não possui pontos de máximo nem de mínimo (nem locais nem globais).