Desenhe os gráficos das funções x, \frac{1}{x} e \frac{1}{x}+x

Passo 1

O que o enunciado pede: desenhar os gráficos das três funções
y=x,\qquad y=\frac{1}{x},\qquad y=x+\frac{1}{x}.
Informações dadas (ou óbvias): cada função é uma regra que associa a cada x um y. Não foram fornecidas imagens nem escala, então faremos um esboço qualitativo usando pontos-chave, assíntotas, comportamento nas extremidades e simetrias. Vou listar os dados úteis que vou usar para cada função sem resolver ainda:
  • valores em pontos simples como x=\pm1,\pm2,\pm\frac12,0 (quando definidos);
  • domínio de cada função;
  • limites quando x\to0^\pm e x\to\pm\infty;
  • assíntotas (verticais, horizontais ou oblíquas);
  • monotonicidade e extremos (quando úteis), obtidos por derivada simples.

Passo 2

Gráfico de y=x — identificação e pontos-chave.
  • Domínio: todos os reais, x\in\mathbb{R}.
  • É uma reta com inclinação 1 que passa pela origem.
  • Pontos fáceis para plotar: (-2,-2),(-1,-1),(0,0),(1,1),(2,2).
  • Comportamento: é monotonicamente crescente em todo lugar (quanto x aumenta, y aumenta).
    Como desenhar: trace os eixos, marque os pontos acima e desenhe a reta passando por eles. Não há assíntotas nem descontinuidades.

Passo 3

Gráfico de y=\dfrac{1}{x} — análise passo a passo.
  • Domínio: x\neq0.
  • Simetria: é função ímpar, pois \dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}; isso significa simetria ímpar (rotacional) em relação à origem.
  • Assíntotas: x=0 é assíntota vertical; y=0 é assíntota horizontal.
  • Limites: \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty,
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0^+,\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0^-.
  • Pontos para plotar: (1,1),(2,\tfrac12),(\tfrac12,2),(-1,-1),(-2,-\tfrac12),(-\tfrac12,-2).
  • Monotonicidade: em x>0 a função é decrescente (vai de +\infty a 0^+); em x<0 também é decrescente (vai de 0^- a -\infty) — cada ramo é decrescente no sentido do aumento de x.
    Como desenhar: desenhe dois ramos hiperbólicos, um no primeiro quadrante aproximando-se de x=0 verticalmente e de y=0 horizontalmente, e outro no terceiro quadrante simétrico.

Passo 4

Gráfico de y=x+\dfrac{1}{x} — domínio, simetrias e assíntotas.
  • Domínio: x\neq0.
  • Simetria: verificar f(-x)=-x+\dfrac{1}{-x}=-(x+\dfrac{1}{x}). Logo f é função ímpar (simetria rotacional de 180^\circ em torno da origem).
  • Assíntota vertical: x=0 (pois 1/x diverge aí).
  • Assíntota oblíqua: comparar com a reta y=x. Observe que \left(x+\frac{1}{x}\right)-x=\frac{1}{x}\xrightarrow[x\to\pm\infty]{}0,portanto y=x é assíntota oblíqua (a diferença tende a zero). Em termos práticos, para |x| grande a curva fica muito próxima da reta y=x.
  • Limites próximos a zero: \lim_{x\to0^+}\left(x+\frac{1}{x}\right)=+\infty,\qquad \lim_{x\to0^-}\left(x+\frac{1}{x}\right)=-\infty.
  • Comportamento em infinito: \lim_{x\to+\infty}\left(x+\frac{1}{x}\right)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(x+\frac{1}{x}\right)=-\infty,aproximando-se da reta y=x.
    Esses fatos definem a “estrutura” geral: uma rama para x>0 que vai de +\infty (quando x\to0^+) até +\infty (quando x\to+\infty) com um ponto mínimo no meio; e uma rama para x<0 que vai de -\infty (quando x\to-\infty) até -\infty (quando x\to0^-) com um ponto máximo no meio.

Passo 5

Encontrar extremos e esboçar forma de y=x+\dfrac{1}{x} usando derivadas (explicação didática).
  • Derivada: para estudar monotonicidade e extremos, calcule f(x)=x+\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=1-\frac{1}{x^2}.Explicando: a derivada de x é 1; a derivada de 1/x é -1/x^2. Somando dá 1-1/x^2.
  • Zerar a derivada para achar críticos: 1-\frac{1}{x^2}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x^2}=1 \quad\Rightarrow\quad x^2=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm1.
  • Classificação via segunda derivada: f''(x)=\frac{2}{x^3}.Em x=1: f''(1)=2>0 então x=1 é mínimo local. Em x=-1: f''(-1)= -2<0 então x=-1 é máximo local.
  • Valores: f(1)=1+\frac{1}{1}=2,\qquad f(-1)=-1+\frac{1}{-1}=-2.
  • Interpretação geométrica: no ramo x>0 a curva desce de +\infty até o mínimo (1,2) e depois sobe para +\infty; no ramo x<0 sobe de -\infty até o máximo (-1,-2) e depois desce para -\infty. Isso produz a forma em “U” (não parabólica, mas com mínimo) à direita e forma invertida à esquerda, simétricas pela origem.

Passo 6

Interseções entre as três curvas — pontos que ajudam no desenho.
  • y=x com y=\dfrac{1}{x}: resolver x=\dfrac{1}{x}\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1. Pontos de interseção: (1,1) e (-1,-1).
  • y=x com y=x+\dfrac{1}{x}: resolver x=x+\dfrac{1}{x}\Rightarrow \dfrac{1}{x}=0, impossível; não se intersectam.
  • y=\dfrac{1}{x} com y=x+\dfrac{1}{x}: resolver \dfrac{1}{x}=x+\dfrac{1}{x}\Rightarrow x=0, impossível (fora do domínio). Portanto não se intersectam.
    Esses pontos de interseção (\pm1,\pm1) são úteis: observe que em x=1 temos simultaneamente y=x, y=1/x e y=x+1/x não — na verdade y(1)=1 para y=x e y=1/x, enquanto y=x+1/x 2 em x=1. Então nos pontos (1,1) e (-1,-1) só as duas primeiras curvas se cruzam.

Passo 7

Como fazer o esboço à mão (passo a passo prático):
  1. Desenhe eixos x e y, marque uma escala simétrica para positivo/negativo.
  2. Trace a reta y=x passando pelos pontos (-2,-2),(-1,-1),(0,0),(1,1),(2,2).
  3. Trace a hipérbole y=\dfrac{1}{x} marcando os pontos (\tfrac12,2),(1,1),(2,\tfrac12) para o ramo do primeiro quadrante e os singulares simétricos no terceiro quadrante. Desenhe aproximando-se de x=0 verticalmente e de y=0 horizontalmente.
  4. Para y=x+\dfrac{1}{x}:
    • Marque o mínimo (1,2) e o máximo (-1,-2).
    • Marque alguns pontos: x=\tfrac12\Rightarrow y=\tfrac12+2=2{,}5; x=2\Rightarrow y=2+\tfrac12=2{,}5; x=-\tfrac12\Rightarrow y=-2{,}5; x=-2\Rightarrow y=-2{,}5.
    • Desenhe o ramo direito que vem de +\infty (quando x\to0^+), desce até (1,2), e sobe aproximando-se da reta y=x conforme x\to+\infty.
    • Desenhe o ramo esquerdo simétrico (vindo de -\infty para x\to-\infty, subindo até (-1,-2), e descendo para -\infty quando x\to0^-).
  5. Identifique e trace levemente a reta y=x como assíntota oblíqua para y=x+\tfrac{1}{x} (a curva fica cada vez mais próxima dela para |x| grande).
  6. Rotule os pontos (\pm1,\pm1), (1,2), (-1,-2) e as assíntotas x=0 e y=0 para y=\tfrac{1}{x}.

Passo 8

Resumo visual mental do que se vê:
  • y=x: reta diagonal subindo pelo centro.
  • y=\dfrac{1}{x}: hipérbole com dois ramos (1.º e 3.º quadrantes), assíntotas nos eixos.
  • y=x+\dfrac{1}{x}: dois ramos com assíntota oblíqua y=x, mínimo em (1,2) e máximo em (-1,-2), e descontinuidade em x=0 com sinais divergentes de cada lado.
    Agora, com esses pontos e descrições, fica fácil desenhar os três gráficos no mesmo sistema de eixos e comparar suas posições.

Resposta

Gráfico de y=x: reta de inclinação 1 que passa por (0,0); pontos de referência (-2,-2),(-1,-1),(1,1),(2,2).
Gráfico de y=\dfrac{1}{x}: hipérbole com domínio x\neq0, assíntotas x=0 e y=0, simetria ímpar; pontos de referência (1,1),(\tfrac12,2),(2,\tfrac12),(-1,-1).
Gráfico de y=x+\dfrac{1}{x}: domínio x\neq0, assíntota oblíqua y=x (pois y-(x)=1/x\to0), mínimo em (1,2), máximo em (-1,-2), simetria ímpar; comportamento: ramo para x>0 vai de +\infty (quando x\to0^+) até o mínimo em (1,2) e volta a +\infty (quando x\to+\infty); ramo para x<0 é o simétrico.

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