Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
h(t)=4 e^{5 t}+6 t^{3}-3 \operatorname{sen}(4 t)+2 \cos (2 t)-\sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
h(t)=4e^{5t}+6t^{3}-3\sin(4t)+2\cos(2t)-\sqrt{2}.
Vamos usar a linearidade da transformada e as fórmulas padrões:
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},\quad \mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}},\quad \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2},\quad \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=\frac{s}{s^2+\omega^2},\quad \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}.

Passo 2

Pela linearidade da transformada de Laplace, escrevemos
H(s)=4\,\mathcal{L}\{e^{5t}\} +6\,\mathcal{L}\{t^3\} -3\,\mathcal{L}\{\sin(4t)\} +2\,\mathcal{L}\{\cos(2t)\} -\sqrt{2}\,\mathcal{L}\{1\}.

Passo 3

Agora usamos as fórmulas:
\mathcal{L}\{e^{5t}\}=\frac{1}{s-5},\quad \mathcal{L}\{t^3\}=\frac{3!}{s^4}=\frac{6}{s^4},\quad \mathcal{L}\{\sin(4t)\}=\frac{4}{s^2+16},\quad \mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\frac{s}{s^2+4},\quad \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}.
Multiplicando pelos coeficientes:
4\cdot\frac{1}{s-5}=\frac{4}{s-5},\quad 6\cdot\frac{6}{s^4}=\frac{36}{s^4},\quad -3\cdot\frac{4}{s^2+16}=-\frac{12}{s^2+16},\quad 2\cdot\frac{s}{s^2+4}=\frac{2s}{s^2+4},\quad -\sqrt{2}\cdot\frac{1}{s}=-\frac{\sqrt{2}}{s}.

Passo 4

Somando todos os termos obtemos
H(s) =\frac{4}{s-5} +\frac{36}{s^4} -\frac{12}{s^2+16} +\frac{2s}{s^2+4} -\frac{\sqrt{2}}{s}.

Resposta

H(s)=\frac{4}{s-5}+\frac{36}{s^4}-\frac{12}{s^2+16}+\frac{2s}{s^2+4}-\frac{\sqrt{2}}{s}.

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