Calcule as seguintes Transformadas de Laplace Inversa:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{4}-1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\frac{1}{s^{4}-1}\bigr\}. O conteúdo aqui é uso de frações parciais para decompor em termos cujas transformadas inversas são conhecidas:
  • \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s-a}\}=e^{at}
  • \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s^{2}+1}\}=\sin t

Passo 2

Fatoramos o denominador e propomos a decomposição:
s^{4} - 1 = (s-1)(s+1)(s^{2}+1)
\frac{1}{s^{4}-1} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+1} + \frac{Cs+D}{s^{2}+1}

Passo 3

Multiplicando os dois lados por (s-1)(s+1)(s^{2}+1) e comparando coeficientes de s^{3}, s^{2}, s^{1} e termo constante resulta no sistema:
\begin{cases} A + B + C = 0 \\\ A - B + D = 0 \\\ A + B - C = 0 \\\ A - B - D = 1 \end{cases}

Passo 4

Resolvendo:
  • Da soma das duas primeiras equações acha-se B=-A e depois C=0.
  • Substituindo em A - B + D = 0 D=-2A.
  • Finalmente, em A - B - D = 1 obtém-se 4A=1 \Rightarrow A=\tfrac{1}{4}.
    Logo
    A=\tfrac{1}{4}, B=-\tfrac{1}{4}, C=0, D=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Reescrevendo a fração e aplicando a transformada inversa termo a termo:
\frac{1}{s^{4}-1} = \frac{\frac{1}{4}}{s-1} - \frac{\frac{1}{4}}{s+1} - \frac{\frac{1}{2}}{s^{2}+1}
\implies f(t) = \tfrac{1}{4} e^{t} - \tfrac{1}{4} e^{-t} - \tfrac{1}{2} \sin t

Resposta

f(t) = \frac{1}{4}\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr)\;-\;\frac12\,\sin t
Ou, de forma equivalente,
f(t) = \tfrac12\,\operatorname{sinh} t \;-\;\tfrac12\,\sin t.

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