Calcule as seguintes Transformadas de Laplace Inversa:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1+s e^{-\pi s}}{s^{2}+1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
\frac{1 + s\,e^{-\pi s}}{s^{2}+1}
Esse exercício usa linearidade e o teorema do atraso (time–shift) na transformada de Laplace. Vamos separar a fração em duas partes e aplicar as propriedades conhecidas:
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^{2}+1)\}=\sin(t).
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\,e^{-a s}\}=f(t-a)\,u(t-a), se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.

Passo 2

Escrevemos
\frac{1 + s\,e^{-\pi s}}{s^{2}+1} = \frac{1}{s^{2}+1} \;+\; \frac{s\,e^{-\pi s}}{s^{2}+1}.
Agora vamos inverter cada parcela separadamente.

Passo 3

Para a primeira parcela temos
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}+1}\Bigr\} =\sin(t).

Passo 4

Na segunda parcela note que
\frac{s}{s^{2}+1} \;\longleftrightarrow\; \cos(t),
logo, aplicando o teorema do atraso com a=\pi:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s}{s^{2}+1}\,e^{-\pi s}\Bigr\} =\cos\bigl(t-\pi\bigr)\,u\bigl(t-\pi\bigr).

Passo 5

Somando as duas inversas pela linearidade:
f(t) =\sin(t) \;+\; \cos\bigl(t-\pi\bigr)\,u\bigl(t-\pi\bigr).

Passo 6

Opcionalmente podemos usar
\cos\bigl(t-\pi\bigr) =-\cos(t)
para reescrever
f(t)=\sin(t)\;-\;\cos(t)\,u(t-\pi).

Resposta

\boxed{ f(t) =\sin(t) \;+\; \cos\bigl(t-\pi\bigr)\,u\bigl(t-\pi\bigr) }
Ou, de forma equivalente,
f(t)=\sin(t)-\cos(t)\,u(t-\pi).

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