Resolva os seguintes problemas de valores iniciais com o uso da Transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 4y' + 4y = 0
com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1, usando a Transformada de Laplace. Para isso, vamos transformar cada termo da EDO em função de s, resolver a equação algébrica resultante e depois aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0), \quad \mathcal{L}\{y'\}(s)=s\,Y(s)-y(0), \quad \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s). Substituindo na EDO e usando y(0)=0, y'(0)=1, obtemos
\bigl(s^2Y(s)-1\bigr)\;-\;4\bigl(sY(s)\bigr)\;+\;4Y(s)\;=\;0.

Passo 3

Agrupamos os termos em Y(s) e isolamos:
s^2Y(s)-1-4sY(s)+4Y(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\bigl(s^2-4s+4\bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{1}{s^2-4s+4}=\frac{1}{(s-2)^2}.

Passo 4

Reconhecemos que
\mathcal{L}\{t e^{2t}\}(s)=\frac{1}{(s-2)^2}.
Portanto, aplicando a transformada inversa de Laplace,
y(t)=t\,e^{2t}.

Resposta

y(t)=t\,e^{2t}.

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