Calcule as seguintes Transformadas de Laplace Inversa:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5 s^{2}-15 s-11}{(s+1)(s-2)^{3}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de \r
\frac{5s^{2}-15s-11}{(s+1)(s-2)^{3}},\r
que é um problema de decomposição em frações parciais seguido do uso de fórmulas conhecidas de transformada inversa. Vamos escrever \r
F(s)=\frac{5s^{2}-15s-11}{(s+1)(s-2)^{3}}\r
e decompor em termos simples de (s+1) e (s-2).

Passo 2

Assumimos a forma \r
\frac{5s^{2}-15s-11}{(s+1)(s-2)^{3}} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s-2}+\frac{C}{(s-2)^{2}}+\frac{D}{(s-2)^{3}}.\r
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s-2)^{3} fica \r
5s^{2}-15s-11 = A(s-2)^{3}+B(s+1)(s-2)^{2}+C(s+1)(s-2)+D(s+1).\r
Usando o método “cover-up”:\r
  • Em s=2: o lado esquerdo vale 5\cdot4-15\cdot2-11=-21 e só sobrevive D(s+1)=3D, logo 3D=-21 \Rightarrow D=-7.\r
  • Em s=-1: o lado esquerdo vale 5\cdot1-15(-1)-11=9 e só sobrevive A(-3)^{3}=-27A, logo -27A=9 \Rightarrow A=-\tfrac13.

Passo 3

Para achar B e C igualamos coeficientes de potências de s. Expandindo em polinômio de grau 3 e comparando com 5s^{2}-15s-11 (note que o coeficiente de s^{3} do lado direito deve ser zero) obtemos\r
  • Coeficiente de s^{3}: A+B=0 \Rightarrow B=-A=+\tfrac13.\r
  • Coeficiente de s^{2}: -6A-3B+C=5. Substituindo A=-\tfrac13 e B=\tfrac13 2-1+C=5 \Rightarrow C=4.\r
    \r
    Então \r
F(s) =-\frac{1/3}{s+1}+\frac{1/3}{s-2}+\frac{4}{(s-2)^{2}}-\frac{7}{(s-2)^{3}}.

Passo 4

Aplicamos a transformada de Laplace inversa termo a termo, lembrando que \r
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s-a}\Bigr\}=e^{at},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s-a)^{2}}\Bigr\}=t\,e^{at},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s-a)^{3}}\Bigr\}=\frac{t^{2}}{2}e^{at}.\r
Assim,\r
f(t) =-\tfrac{1}{3}e^{-t} +\tfrac{1}{3}e^{2t} +4\,t\,e^{2t} -7\cdot\tfrac{1}{2}t^{2}e^{2t}.\r
Podemos agrupar os termos em e^{2t} se quisermos.

Resposta

f(t) =-\frac{1}{3}e^{-t} +\frac{1}{3}e^{2t} +4\,t\,e^{2t} -\frac{7}{2}t^{2}e^{2t}.

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