Resolva os seguintes problemas de valores iniciais com o uso da Transformada de Laplace:
y^{\prime}+y=e^{2 t}, \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(t) + y(t) = e^{2t},\quad y(0)=0
usando a Transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0) e \mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s), além da transformada de e^{2t}.

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
\mathcal{L}\{y'(t)\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{e^{2t}\}.
Usando y(0)=0, obtemos
sY(s) - 0 + Y(s) = \frac{1}{s-2}.

Passo 3

Agrupamos Y(s) no lado esquerdo:
\bigl(s + 1\bigr)Y(s) = \frac{1}{s-2} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{1}{(s+1)(s-2)}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{(s+1)(s-2)} = \frac{A}{s-2} + \frac{B}{s+1}.
Multiplicando em comum:
A(s+1) + B(s-2) = 1.
Para s=2 vem A\cdot3 = 1 então A=\tfrac13.
Para s=-1 vem B\cdot(-3)=1 então B=-\tfrac13.
Logo
Y(s) = \frac{1/3}{s-2} - \frac{1/3}{s+1}.

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa em cada termo:
y(t) = \frac{1}{3}\,e^{2t} - \frac{1}{3}\,e^{-t}.

Resposta

y(t)=\frac{1}{3}\bigl(e^{2t}-e^{-t}\bigr).

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