Calcule as seguintes Transformadas de Laplace Inversa:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^{2}\left(s^{2}+s+1\right)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{s+1}{s^{2}\bigl(s^{2}+s+1\bigr)},
que é um problema de decomposição em frações parciais e aplicação de transformadas conhecidas (como 1/s^2 e termos do tipo 1/((s+a)^2+b^2)).

Passo 2

Assumimos a forma de frações parciais
\frac{s+1}{s^{2}(s^{2}+s+1)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{Cs+D}{s^{2}+s+1}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s^{2}+s+1)\) e igualando coeficientes, obtemos \[s+1 = A\,s\,(s^{2}+s+1) + B\,(s^{2}+s+1) + (Cs+D)\,s^{2}.
Expandindo e coletando em potências de s:
s^{3}(A+C) + s^{2}(A+B+D) + s(A+B) + B = s+1.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A + C = 0,\\\ A + B + D = 0,\\\ A + B = 1,\\\ B = 1, \end{cases}
então B=1\], \(A=0, C=0 e D=-1.

Passo 4

Substituindo os valores em F(s):
F(s) = \frac{0}{s} + \frac{1}{s^{2}} + \frac{0\cdot s -1}{s^{2}+s+1} = \frac{1}{s^{2}} \;-\;\frac{1}{s^{2}+s+1}.

Passo 5

Invertemos termo a termo:
  1. \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\bigl\{1/s^{2}\bigr\}=t.
  2. Para \displaystyle \frac{1}{s^{2}+s+1}, complete o quadrado:
s^{2}+s+1 = \bigl(s+\tfrac12\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^{2}.
Sabe-se que
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{(s+a)^{2}+b^{2}}\Bigr\} = e^{-a t}\,\frac{1}{b}\,\sin(bt).
Aqui a=\tfrac12 e b=\tfrac{\sqrt3}{2}, então
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s^{2}+s+1}\Bigr\} = e^{-t/2}\,\frac{1}{(\sqrt3/2)}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\Bigr) = \frac{2}{\sqrt3}\,e^{-t/2}\sin\!\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\Bigr).

Passo 6

Juntando os resultados com o sinal menos:
f(t) = t \;-\; \frac{2}{\sqrt3}\,e^{-t/2}\sin\!\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\Bigr).

Resposta

\boxed{\,t \;-\; \frac{2}{\sqrt3}\,e^{-\tfrac t2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr)\,}.

Exercícios relacionados