Calcule as seguintes Transformadas de Laplace Inversa:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s\left(s^{2}+1\right)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
\frac{s+1}{s\,(s^{2}+1)}.
O conteúdo principal aqui é usar frações parciais para decompor a função em termos cujas inversas são conhecidas: \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{s/(s^{2}+1)\}=\cos t e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^{2}+1)\}=\sin t.

Passo 2

Suponha a decomposição em frações parciais
\frac{s+1}{s\,(s^{2}+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B\,s + C}{s^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por s(s^{2}+1), obtemos
s+1 = A\,(s^{2}+1) + (B\,s + C)\,s.

Passo 3

Desenvolvendo o lado direito:
A\,s^{2} + A + B\,s^{2} + C\,s = (A+B)\,s^{2} + C\,s + A.
Comparando coeficientes com s+1 = 0\cdot s^{2} + 1\cdot s + 1, vem
A + B = 0,\quad C = 1,\quad A = 1.
Logo A=1, B=-1, C=1.

Passo 4

Substituindo em frações parciais:
\frac{s+1}{s\,(s^{2}+1)} = \frac{1}{s} + \frac{-1\cdot s + 1}{s^{2}+1} = \frac{1}{s} - \frac{s}{s^{2}+1} + \frac{1}{s^{2}+1}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s}\Bigr\} = 1, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s}{s^{2}+1}\Bigr\} = \cos t, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}+1}\Bigr\} = \sin t.
Como há um sinal negativo no segundo termo, a soma dá
f(t) = 1 - \cos t + \sin t.

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s+1}{s\,(s^{2}+1)}\Bigr\} = 1 - \cos t + \sin t.

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