Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
y(t)=e^{2 t} \cos t+t^{2} e^{2 t}-\frac{2}{\pi}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
y(t)=e^{2t}\cos t \;+\; t^{2}e^{2t} \;-\;\frac{2}{\pi},
logo vamos usar:
  1. Linearidade da transformada de Laplace;
  2. Deslocamento no domínio de s (para fatores e^{at});
  3. Fórmulas conhecidas
    \displaystyle \mathcal{L}\{\,\cos(bt)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+b^{2}}
    e
    \displaystyle \mathcal{L}\{\,t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}.

Passo 2

Calcular \displaystyle \mathcal{L}\{\,e^{2t}\cos t\}(s).
Pela propriedade de deslocamento, se
\displaystyle \mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1},
então
\mathcal{L}\{e^{2t}\cos t\}(s) =\frac{s-2}{(s-2)^{2}+1}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \mathcal{L}\{\,t^{2}e^{2t}\}(s).
Sabemos que
\displaystyle \mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.
Aplicando deslocamento s\to s-2, obtemos
\mathcal{L}\{t^{2}e^{2t}\}(s) =\frac{2}{(s-2)^{3}}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \mathcal{L}\Bigl\{-\frac{2}{\pi}\Bigr\}(s).
Como \displaystyle \mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}, temos
\mathcal{L}\Bigl\{-\frac{2}{\pi}\Bigr\}(s) =-\frac{2}{\pi}\,\frac{1}{s} =-\frac{2}{\pi\,s}.

Passo 5

Pela linearidade, soma-se tudo:
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s) =\frac{s-2}{(s-2)^{2}+1} +\frac{2}{(s-2)^{3}} -\frac{2}{\pi\,s}.

Resposta

\boxed{ Y(s) =\frac{s-2}{(s-2)^{2}+1} +\frac{2}{(s-2)^{3}} -\frac{2}{\pi\,s} }.

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