Calcule as seguintes Transformadas de Laplace Inversa:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3 s+7}{s^{2}-2 s-3}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace inversa de
\frac{3s+7}{s^{2}-2s-3}
Esse problema usa o método de frações parciais e a tabela básica
\mathcal{L}\{e^{at}\}=1/(s-a).

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
s^{2}-2s-3 = (s-3)(s+1).
Isso mostra que temos polos simples em s=3 e s=-1.

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} = \frac{A}{s-3} + \frac{B}{s+1}.
Multiplicando ambos os lados por (s-3)(s+1), obtemos
3s+7 = A(s+1) + B(s-3) = (A+B)\,s + (A - 3B).
Comparando coeficientes de s e termos constantes:
\begin{cases} A + B = 3,\\\ A - 3B = 7. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação A = 3 - B. Substituindo na segunda,
(3 - B) - 3B = 7 \;\Longrightarrow\; 3 - 4B = 7 \;\Longrightarrow\; B = -1,
e então A = 3 -(-1) = 4. Logo
\frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} = \frac{4}{s-3} - \frac{1}{s+1}.

Passo 5

Usando a propriedade linear da transformada inversa e
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)\} = e^{at}, temos
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{4}{s-3}\Bigr\} = 4e^{3t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{-1}{s+1}\Bigr\} = -e^{-t}.

Resposta

4e^{3t} - e^{-t}

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