Calcule as seguintes transformadas de Laplace inversas
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s e^{-\frac{\pi s}{2}}}{s+2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{s\,e^{-\frac{\pi s}{2}}}{s+2}.
O conteúdo aqui é a propriedade de deslocamento no tempo: se
\mathcal{L}\{g(t)\}=G(s),
então
\mathcal{L}\{g(t-a)\,u(t-a)\}=e^{-a s}G(s).
Vamos aplicar isso com a=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Escrevemos
F(s)=e^{-\frac{\pi s}{2}}\;\frac{s}{s+2},
de modo que G(s)=\tfrac{s}{s+2} e a=\tfrac{\pi}{2}. Logo,
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} =\bigl[g(t-a)\bigr]\,u(t-a),
onde g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}.

Passo 3

Para achar g(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\bigl\{\tfrac{s}{s+2}\bigr\}, fazemos a decomposição
\frac{s}{s+2} =\frac{s+2-2}{s+2} =1-\frac{2}{s+2}.
Sabemos que \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1 e \mathcal{L}\{e^{-2t}u(t)\}=\tfrac{1}{s+2}, logo
g(t)=\delta(t)-2\,e^{-2t}u(t).

Passo 4

Substituindo em f(t)=g(t-\tfrac{\pi}{2})\,u(t-\tfrac{\pi}{2}), obtemos
f(t) =\Bigl[\delta\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr) -2\,e^{-2\,(t-\frac{\pi}{2})}u\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\Bigr] \,u\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Como \delta(t-\tfrac{\pi}{2}) já “ativa” somente em t=\tfrac{\pi}{2}, o fator u(t-\tfrac{\pi}{2}) não o anula. Então fica

Resposta

\boxed{ \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s\,e^{-\frac{\pi s}{2}}}{s+2}\Bigr\} =\delta\Bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\Bigr) -2\,e^{-2\,(t-\frac{\pi}{2})}\,u\Bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\Bigr). }

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