Calcule as seguintes transformadas de Laplace inversas
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^{2}+2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
\frac{s+1}{s^{2}+2}.
O conteúdo aqui é usar a linearidade da transformada e as fórmulas básicas
\mathcal{L}\{\cos(a t)\} = \frac{s}{s^{2}+a^{2}} e
\mathcal{L}\{\sin(a t)\} = \frac{a}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 2

Separamos em dois termos usando a linearidade:
\frac{s+1}{s^{2}+2} = \frac{s}{s^{2}+2} \;+\;\frac{1}{s^{2}+2}.

Passo 3

Para o primeiro termo, reconhecemos
\frac{s}{s^{2}+2} = \frac{s}{s^{2}+(\sqrt{2})^{2}},
que é a transformada de \cos(\sqrt{2}\,t). Logo,
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{s}{s^{2}+2}\Big\} = \cos(\sqrt{2}\,t).

Passo 4

Para o segundo termo, escrevemos
\frac{1}{s^{2}+2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\;\frac{\sqrt{2}}{s^{2}+(\sqrt{2})^{2}},
e sabemos que \mathcal{L}\{\sin(\sqrt{2}\,t)\} = \tfrac{\sqrt{2}}{s^{2}+2}. Portanto,
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s^{2}+2}\Big\} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t).

Passo 5

Somando as duas partes pela linearidade, obtemos
f(t) = \cos(\sqrt{2}\,t) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{s+1}{s^{2}+2}\Big\} = \cos(\sqrt{2}\,t) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t).

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