Calcule as seguintes transformadas de Laplace inversas
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{4}+9}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
\frac{1}{s^{4}+9}.
Para resolver precisamos usar frações parciais em s, fatorar s^4+9 em dois quadráticos reais, completar o quadrado em cada denominador e depois usar tabelas conhecidas de transformadas inversas:
\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}\biggr\} =e^{-a t}\cos(bt), \quad \mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}\biggr\} =e^{-a t}\sin(bt).

Passo 2

Fatoramos
s^{4}+9=(s^{2}+\sqrt{6}\,s+3)\,(s^{2}-\sqrt{6}\,s+3).
Escrevemos então a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{s^{4}+9} =\frac{A\,s+B}{s^{2}+\sqrt{6}\,s+3} +\frac{C\,s+D}{s^{2}-\sqrt{6}\,s+3}.
Multiplicando ambos os lados por (s^{2}+\sqrt{6}s+3)(s^{2}-\sqrt{6}s+3) e igualando coeficientes de s^{3},s^{2},s,1, obtemos o sistema
\begin{cases} A+C=0,\\\\ - A\sqrt{6}+B+ C\sqrt{6}+D=0,\\\\ 3A -B\sqrt{6}+3C +D\sqrt{6}=0,\\\\ 3B+3D=1. \end{cases}
Dessa forma encontra-se
A=\frac{1}{6\sqrt{6}},\quad B=\frac{1}{6},\quad C=-\frac{1}{6\sqrt{6}},\quad D=\frac{1}{6}.

Passo 3

Cada denominador completamos o quadrado:
s^{2}+\sqrt{6}\,s+3 =\bigl(s+\tfrac{\sqrt{6}}{2}\bigr)^{2}+\tfrac{3}{2}, \quad s^{2}-\sqrt{6}\,s+3 =\bigl(s-\tfrac{\sqrt{6}}{2}\bigr)^{2}+\tfrac{3}{2}.
Reescrevendo os numeradores:
A\,s+B =A\Bigl(s+\tfrac{\sqrt{6}}{2}\Bigr) +\Bigl(B-A\,\tfrac{\sqrt{6}}{2}\Bigr), \quad C\,s+D =C\Bigl(s-\tfrac{\sqrt{6}}{2}\Bigr) +\Bigl(D+C\,\tfrac{\sqrt{6}}{2}\Bigr).
Calcula-se B-A\frac{\sqrt{6}}{2}=D+C\frac{\sqrt{6}}{2}=\tfrac{1}{12} e definimos
\alpha=\frac{\sqrt{6}}{2},\quad \beta=\sqrt{\tfrac{3}{2}}.

Passo 4

Aplicando as transformadas inversas conhecidas, temos para cada parcela
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{A\,(s+\alpha)}{(s+\alpha)^{2}+\beta^{2}}\Bigr\} =A\,e^{-\alpha t}\cos(\beta t), \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{\tfrac{1}{12}}{(s+\alpha)^{2}+\beta^{2}}\Bigr\} =\frac{\beta}{12}\,e^{-\alpha t}\frac{\sin(\beta t)}{\beta} =\frac{\sqrt{6}}{36}\,e^{-\alpha t}\sin(\beta t),
e de modo análogo para o segundo termo com s-\alpha. Somando tudo e usando identidades hiperbólicas, chegamos a
f(t) =\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s^{4}+9}\Bigr\} =\frac{\sqrt{6}}{18}\,\operatorname{cosh}\bigl(\alpha t\bigr)\,\sin\bigl(\beta t\bigr) -\frac{1}{3\sqrt{6}}\,\operatorname{sinh}\bigl(\alpha t\bigr)\,\cos\bigl(\beta t\bigr).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s^{4}+9}\Bigr\} =\frac{\sqrt{6}}{18}\,\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{6}}{2}t\bigr)\,\sin\!\bigl(\sqrt{\tfrac32}\,t\bigr) -\frac{1}{3\sqrt{6}}\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{6}}{2}t\bigr)\,\cos\!\bigl(\sqrt{\tfrac32}\,t\bigr).

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