Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções
j(t)=\operatorname{sen}(t) U\left(t-\frac{\pi}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
\displaystyle j(t)=\sin(t)\,U\!\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Aqui vamos usar o teorema do deslocamento no tempo (ou “time–shift”) e a transformada básica de \cos t.

Passo 2

Observe que
\cos\!\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\sin(t)\,.
Logo podemos reescrever
j(t)=\cos\!\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\,U\!\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)
e identificar a=\tfrac{\pi}{2} e f(t)=\cos t, de modo que
j(t)=f\bigl(t-a\bigr)\,U(t-a)\,.

Passo 3

Pelo teorema do deslocamento no tempo, se
f(t-a)\,U(t-a) \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{L}\{f(t-a)\,U(t-a)\}(s) =e^{-a s}\,F(s),
onde
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\,.
No nosso caso a=\tfrac{\pi}{2} e
F(s) =\mathcal{L}\{\cos t\}(s) =\int_{0}^{\infty}\cos t\,e^{-s t}\,dt =\frac{s}{s^{2}+1}\,.
Portanto
\mathcal{L}\{j(t)\}(s) =e^{-\tfrac{\pi}{2}s}\,\frac{s}{s^{2}+1}\,.

Resposta

J(s) =\mathcal{L}\{j(t)\}(s) =\frac{s\,e^{-\tfrac{\pi}{2}s}}{s^{2}+1}\,.

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