Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções
f(t)=e^{7 t+5}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=e^{7t+5}. O conteúdo envolve a definição integral da transformada de Laplace e a regra para exponenciais.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-s t}\,dt.

Passo 3

Escrevendo f(t)=e^{7t+5}=e^{5}\,e^{7t}, temos
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_{0}^{\infty}e^{5}e^{7t}e^{-s t}\,dt = e^{5}\int_{0}^{\infty}e^{-(s-7)t}\,dt.

Passo 4

Sabemos que
\int_{0}^{\infty}e^{-a t}\,dt = \frac{1}{a} \quad\text{para }\Re(a)>0.
Aqui a=s-7, logo a condição de convergência é \Re(s)>7. Assim
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \frac{e^{5}}{s-7}, \quad \Re(s)>7.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{7t+5}\}(s)=\frac{e^{5}}{s-7},\quad \Re(s)>7.

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