Calcule as seguintes transformadas de Laplace inversas
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{e^{-2 s}}{s^{2}(s-1)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede \mathcal{L}^{-1}\bigl\{e^{-2s}/\bigl(s^{2}(s-1)\bigr)\bigr\}. Vamos usar a propriedade de translação no tempo (time-shift) e, antes, calcular a transformada inversa de
H(s)=\frac{1}{s^{2}(s-1)}.

Passo 2

Pela propriedade de translação, se \mathcal{L}\{h(t)\}=H(s) então
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-2s}H(s)\}=h(t-2)\,u(t-2),
onde u(t) é a função degrau de Heaviside. Logo precisamos achar h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}.

Passo 3

Fazemos frações parciais em
\frac{1}{s^{2}(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s-1}.
Multiplicando por s^{2}(s-1),
1=A\,s(s-1)+B\,(s-1)+C\,s^{2}.
Igualando coeficientes de s^{2}, s e constante, obtemos
A+C=0,\quad B-A=0,\quad -B=1
que levam a A=-1, B=-1, C=1.

Passo 4

Invertendo termo a termo,
h(t)=-\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}-\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}}\}+\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-1}\} =-1 - t + e^{t}.

Passo 5

Aplicando a translação de 2 unidades no tempo,
f(t)=h(t-2)\,u(t-2)=\bigl(e^{\,t-2} - (t-2) -1\bigr)\,u(t-2) =\bigl(e^{\,t-2} - t +1\bigr)\,u(t-2).

Resposta

f(t)=\bigl(e^{\,t-2} - t +1\bigr)\,u(t-2).

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