Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções
g(t)=\left(1+e^{2 t}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
g(t)=\bigl(1+e^{2t}\bigr)^{2}.
O conteúdo aqui é a propriedade de linearidade da transformada de Laplace e a fórmula padrão
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a},
válida para \Re(s)>a.

Passo 2

Primeiro expandimos o quadrado para separar em termos simples:
g(t)=\bigl(1+e^{2t}\bigr)^{2} =1+2e^{2t}+e^{4t}.

Passo 3

Usamos a linearidade da transformada de Laplace, ou seja,
\mathcal{L}\{1+2e^{2t}+e^{4t}\} =\mathcal{L}\{1\}+2\,\mathcal{L}\{e^{2t}\}+\mathcal{L}\{e^{4t}\}.

Passo 4

Agora aplicamos as fórmulas conhecidas:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\quad \mathcal{L}\{e^{2t}\}(s)=\frac{1}{s-2},\quad \mathcal{L}\{e^{4t}\}(s)=\frac{1}{s-4}.

Passo 5

Substituindo em
\mathcal{L}\{g(t)\}=\displaystyle \frac{1}{s}+2\cdot\frac{1}{s-2}+\frac{1}{s-4}
obtém-se
\mathcal{L}\{g(t)\}(s) =\frac{1}{s}+\frac{2}{s-2}+\frac{1}{s-4},
com região de convergência \Re(s)>4.

Passo 6

Se quisermos, podemos colocar num só quociente. O denominador comum é s(s-2)(s-4). O numerador fica
(s-2)(s-4)+2\,s(s-4)+s(s-2) =4s^{2}-16s+8,
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\mathcal{L}\{g(t)\}(s) =\frac{4s^{2}-16s+8}{s(s-2)(s-4)} =\frac{4\bigl(s^{2}-4s+2\bigr)}{s(s-2)(s-4)}.

Resposta

\mathcal{L}\{g(t)\}(s) =\frac{1}{s}+\frac{2}{s-2}+\frac{1}{s-4} =\frac{4s^{2}-16s+8}{s(s-2)(s-4)},\quad \Re(s)>4.

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