Mostre que x^{2}-y^{2}=0 se, e somente se, x=y ou x=-y.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a equação
x^{2}-y^{2}=0
é equivalente às condições x=y ou x=-y. Vamos usar a fatoração de diferença de quadrados e a propriedade do produto nulo em \mathbb{R}.

Passo 2

Fatoramos a diferença de quadrados:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).

Passo 3

Pela propriedade do produto nulo, se
(x-y)(x+y)=0
então x-y=0 ou x+y=0. Logo
x=y\quad\text{ou}\quad x=-y.

Passo 4

Reciprocamente, se x=y então
x^{2}-y^{2}=y^{2}-y^{2}=0,
e se x=-y então
x^{2}-y^{2}=(-y)^{2}-y^{2}=y^{2}-y^{2}=0.
Em ambos os casos obtemos x^{2}-y^{2}=0.

Resposta

x^{2}-y^{2}=0 se, e somente se, x=y ou x=-y.

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