Sejam \alpha \in R, com \alpha>1 / 2 e \in \in R. Mostre que, para todo x \in R, se |x-\alpha|<\min \{1, \epsilon /(1+2 \alpha)\} então \left|x^{2}-\alpha^{2}\right|< \epsilon.

Passo 1

O enunciado pede para provar a continuidade de f(x)=x^2 no ponto \alpha, isto é, mostrar que dado qualquer \epsilon>0 existe \delta>0 tal que
|x-\alpha|<\delta\quad\Longrightarrow\quad|x^2-\alpha^2|<\epsilon.
Vamos escolher
\delta = \min\bigl\{1,\;\frac{\epsilon}{1+2\alpha}\bigr\}.

Passo 2

Escrevendo a diferença de quadrados em fatores, temos
|x^2-\alpha^2| = |x-\alpha|\;\bigl|x+\alpha\bigr|.

Passo 3

Se impusermos |x-\alpha|<1, então
|x| = |x-\alpha + \alpha|\le |x-\alpha| + |\alpha| < 1 + \alpha,
e assim
\bigl|x+\alpha\bigr|\le |x| + |\alpha| < (1+\alpha) + \alpha = 1 + 2\alpha.

Passo 4

Agora, usando simultaneamente |x-\alpha|<1 e |x-\alpha|<\epsilon/(1+2\alpha), obtemos
|x^2-\alpha^2| = |x-\alpha|\;\bigl|x+\alpha\bigr| < |x-\alpha|\,(1+2\alpha) < \frac{\epsilon}{1+2\alpha}\,(1+2\alpha) = \epsilon.

Resposta

Basta tomar
\delta = \min\Bigl\{1,\;\frac{\epsilon}{1+2\alpha}\Bigr\},
pois então de |x-\alpha|<\delta segue |x^2-\alpha^2|<\epsilon, como desejado.

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