Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções
i(t)=(3 t+1) U(t-1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
\displaystyle i(t) = (3\,t + 1)\,U(t-1).
Aqui vamos usar a definição da transformada de Laplace e o fato de que U(t-1) “liga” a função apenas para t\ge1.

Passo 2

Pela definição,
\mathcal{L}\{i(t)\} = \int_{0}^{\infty} (3\,t + 1)\,U(t-1)\,e^{-s t}\,dt.
Como U(t-1)=0 para t<1 e vale 1 para t\ge1, isso vira
\mathcal{L}\{i(t)\} = \int_{1}^{\infty} (3\,t + 1)\,e^{-s t}\,dt.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
\displaystyle u = t - 1,
logo t = u + 1 e dt = du.
Quando t=1 temos u=0, e quando t\to\infty temos u\to\infty.
Substituindo no integral:
\int_{1}^{\infty} (3\,t + 1)\,e^{-s t}\,dt = \int_{0}^{\infty} \bigl(3(u+1)+1\bigr)\,e^{-s(u+1)}\,du = e^{-s}\int_{0}^{\infty} (3\,u + 4)\,e^{-s u}\,du.

Passo 4

Agora usamos integrais padrão:
\int_{0}^{\infty} e^{-s u}\,du = \frac{1}{s}, \quad \int_{0}^{\infty} u\,e^{-s u}\,du = \frac{1}{s^2}.
Logo
\int_{0}^{\infty} (3\,u + 4)\,e^{-s u}\,du = 3\cdot\frac{1}{s^2} + 4\cdot\frac{1}{s} = \frac{3}{s^2} + \frac{4}{s}.

Passo 5

Reintroduzindo o fator e^{-s}, obtemos
\mathcal{L}\{i(t)\} = e^{-s}\,\Bigl(\frac{3}{s^2} + \frac{4}{s}\Bigr).

Resposta

\mathcal{L}\{(3\,t+1)\,U(t-1)\} = e^{-s}\Bigl(\frac{3}{s^2} + \frac{4}{s}\Bigr).

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