Informando sempre a técnica utilizada, resolva as integrais ( 1,5 pontos cada item).
\int(x+2)\left(\frac{x^{2}}{2}+2 x\right)^{4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int (x+2)\Bigl(\frac{x^{2}}{2}+2x\Bigr)^{4}\,dx
Vamos usar a técnica de substituição (também chamada de mudança de variável), escolhendo como u a parte interna elevada à quarta potência, já que sua derivada aparece multiplicando.

Passo 2

Definimos
u = \frac{x^{2}}{2}+2x.
Então, derivando em relação a x, temos
\frac{du}{dx} = x + 2 \quad\Longrightarrow\quad du = (x+2)\,dx.
Ou seja, o fator (x+2)\,dx do integrando é exatamente du.

Passo 3

Substituindo na integral, trocamos (x+2)\,dx por du e \frac{x^{2}}{2}+2x por u. Assim,
\int (x+2)\Bigl(\frac{x^{2}}{2}+2x\Bigr)^{4}\,dx = \int u^{4}\,du.

Passo 4

Agora integramos u^{4} de forma direta, usando a regra de potência:
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u = \tfrac{x^{2}}{2}+2x:
\frac{u^{5}}{5} + C = \frac{1}{5}\Bigl(\frac{x^{2}}{2}+2x\Bigr)^{5} + C.

Resposta

\boxed{\int (x+2)\Bigl(\tfrac{x^{2}}{2}+2x\Bigr)^{4}\,dx = \frac{1}{5}\Bigl(\tfrac{x^{2}}{2}+2x\Bigr)^{5} + C.}

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